Линейные однородные уравнения 2-го порядка: характеристическое уравнение и три случая

Линейные уравнения 2-го порядка: три случая одной формулы

Уравнение y″ + py′ + qy = 0 решается через обычное квадратное уравнение. Весь метод — составить его, посчитать корни и выбрать одну из трёх готовых формул.

Метод за два шага

Для уравнения $y'' + p\,y' + q\,y = 0$ :

Составить характеристическое уравнение — заменить $y''$ на $k^2$ , $y'$ на $k$ , $y$ на 1:

k^2 + p\,k + q = 0

Решить его и выбрать формулу по виду корней:

Корни	Общее решение
$k_1 \neq k_2$ (действительные)	$y = C_1 e^{k_1 x} + C_2 e^{k_2 x}$
$k_1 = k_2 = k$ (кратный)	$y = (C_1 + C_2 x)\,e^{k x}$
$k = \alpha \pm \beta i$ (комплексные)	$y = e^{\alpha x}\big(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x\big)$

Суть

Дифур второго порядка свёлся к школьному квадратному уравнению — в этом вся магия. Комплексные корни не страшны: из них берутся два числа, $\alpha$ (действительная часть) и $\beta$ (мнимая), и подставляются в третью формулу.

Три случая — три примера

Случай 1: два разных корня

y'' - 5y' + 6y = 0

Характеристическое: $k^2 - 5k + 6 = 0$ , корни $k_1 = 2$ , $k_2 = 3$ .

y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}

Случай 2: кратный корень

y'' - 2y' + y = 0

Характеристическое: $k^2 - 2k + 1 = 0$ , корень $k = 1$ кратности два:

y = (C_1 + C_2 x)\,e^{x}

Случай 3: комплексные корни

y'' + 4y = 0

Характеристическое: $k^2 + 4 = 0$ , корни $k = \pm 2i$ , то есть $\alpha = 0$ , $\beta = 2$ :

y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x

Множитель $e^{0 \cdot x} = 1$ исчез — осталась чистая тригонометрия. Это уравнение колебаний, оно же встретится в физике.

Типичные ошибки

Потерять множитель $x$ при кратном корне — решение перестаёт быть общим.
Испугаться комплексных корней и объявить «решений нет»: решения есть, формула третья.
Перепутать $\alpha$ и $\beta$ : $\alpha$ — то, что БЕЗ $i$ (уходит в экспоненту), $\beta$ — коэффициент при $i$ (уходит в косинус/синус).
Написать одну константу вместо двух — второй порядок требует $C_1$ и $C_2$ .

Частые вопросы

Откуда берётся характеристическое уравнение?

Из подстановки y = e^(kx): её производные — это k·e^(kx) и k²·e^(kx), и после сокращения на e^(kx) от дифура остаётся обычное квадратное уравнение k² + pk + q = 0.

Почему в решении две константы, а не одна?

Порядок уравнения равен числу констант: второй порядок — двукратное интегрирование — две произвольные константы. Их находят из двух начальных условий задачи Коши.

Что делать, если корень характеристического уравнения кратный?

Второе решение добирается множителем x: y = (C₁ + C₂x)·e^(kx). Без этого множителя два решения совпадут и константа потеряется.

А если правая часть не ноль?

Это неоднородное уравнение: к общему решению однородного добавляется любое частное решение неоднородного (его ищут методом подбора по виду правой части). База — та же, что здесь.