Доверительный интервал для среднего: формула и пример по шагам

Доверительный интервал: честная вилка вместо точечного ответа

По выборке нельзя узнать точное среднее всей совокупности — зато можно построить вилку, в которую оно попадает с заданной надёжностью. Учимся строить и правильно читать.

Формула

Доверительный интервал для среднего при известном $\sigma$ :

\bar{x} \pm z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

где $\bar{x}$ — выборочное среднее, $n$ — размер выборки, а $z$ зависит от надёжности:

Надёжность	$z$
90%	1,645
95%	1,96
99%	2,576

Слагаемое $z \cdot \tfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ называют точностью оценки (полушириной вилки).

Полный разбор задачи

По выборке из $n = 25$ измерений получено среднее $\bar{x} = 100$ . Известно $\sigma = 10$ . Построить 95%-й доверительный интервал для истинного среднего.

Шаг 1. Стандартная ошибка среднего:

\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2

Шаг 2. Точность (для 95% берём $z = 1{,}96$ ):

\Delta = 1{,}96 \cdot 2 = 3{,}92

Шаг 3. Интервал:

100 \pm 3{,}92 \quad\Longrightarrow\quad (96{,}08;\ 103{,}92)

Читаем ответ: с надёжностью 95% истинное среднее лежит между 96,1 и 103,9.

Суть

Интуиция формулы: $\sigma/\sqrt{n}$ — это «разброс средних», он всегда меньше разброса отдельных измерений. Чем больше выборка, тем устойчивее среднее — потому и корень из $n$ в знаменателе.

Типичные ошибки

Забыть корень: делят σ на n вместо $\sqrt{n}$ — интервал схлопывается в подозрительно узкий.
Перепутать σ и σ/√n — в формуле стоит стандартная ошибка среднего, а не отклонение отдельных измерений.
Читать интервал как «95% данных лежит внутри» — нет, внутри лежит истинное среднее, а не данные; для данных это был бы $\mu \pm 2\sigma$ .
Взять z не той надёжности — три числа из таблицы выше путать нельзя.

Частые вопросы

Что на самом деле означает «доверительная вероятность 95%»?

Если строить такие интервалы по многим выборкам, около 95% из них накроют истинное среднее. Это свойство метода, а не конкретного интервала — но на практике читается как «с надёжностью 95% среднее внутри вилки».

Откуда берётся число 1,96?

Из нормального распределения: ровно 95% значений лежит в пределах ±1,96σ от среднего. Для надёжности 90% берут 1,645, для 99% — 2,576. Эти три числа стоит просто запомнить.

Как сузить интервал?

Увеличить выборку: ширина падает как корень из n — чтобы сузить вилку вдвое, данных нужно вчетверо больше. Либо снизить требуемую надёжность, но это уже торговля точностью.

А если σ генеральной совокупности неизвестна?

Берут выборочное s вместо σ и коэффициент из распределения Стьюдента вместо 1,96. При n больше 30 разница почти исчезает, и на практике пользуются той же формулой.

Доверительный интервал: честная вилка вместо точечного ответа

Формула

Типичные ошибки

Частые вопросы

Связанные темы