Нормальное распределение: правило трёх сигм и задачи

Q: Что означают параметры μ и σ?

μ — центр колокола (среднее значение), σ — его «ширина» (стандартное отклонение). Больше σ — колокол ниже и шире, данные разбросаннее. Записывается X ~ N(μ; σ).

Q: Зачем нужна стандартизация Z = (X − μ)/σ?

Таблица значений существует только для стандартного распределения N(0; 1). Стандартизация переводит любую нормальную величину в стандартную: считаешь Z и идёшь в таблицу.

Q: Почему в разных учебниках функция Лапласа разная?

Есть две традиции: Φ₀(z) — интеграл от 0 до z (значения от 0 до 0,5), и Φ(z) — от минус бесконечности (значения от 0 до 1). Формулы отличаются на 0,5. Смотри, какая таблица в твоей методичке, — и не смешивай их.

Q: Правда ли, что за пределы трёх сигм ничего не выпадает?

Почти: за 3σ лежит около 0,3% значений. Поэтому «выброс за три сигмы» — стандартный повод заподозрить ошибку измерения или брак.

Нормальное распределение: колокол, который правит миром

Рост, ошибки измерений, баллы за экзамен — всё это распределено «колоколом». Два параметра, одно правило трёх сигм и стандартизация закрывают большинство задач.

Обозначения и плотность

Запись $X \sim N(\mu;\, \sigma)$ читается: « $X$ распределена нормально с параметрами $\mu$ (центр) и $\sigma$ (разброс)». Сам «колокол» — это график плотности:

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\; e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

Максимум — в точке $x = \mu$ , ширина задаётся $\sigma$ ; вероятности — площади под этим графиком.

Правило трёх сигм — главное, что надо знать

Для нормальной величины $X \sim N(\mu;\, \sigma)$ доли значений фиксированы:

Символьная запись	Сколько значений внутри
$P\big(\lvert X - \mu\rvert \le \sigma\big)$	$\approx 0{,}68$
$P\big(\lvert X - \mu\rvert \le 2\sigma\big)$	$\approx 0{,}95$
$P\big(\lvert X - \mu\rvert \le 3\sigma\big)$	$\approx 0{,}997$

Пример 1: правило трёх сигм в лоб

Рост мужчин: $X \sim N(175;\, 7)$ (в сантиметрах). Какая доля мужчин имеет рост от 168 до 182 см?

Интервал $175 \pm 7$ — это ровно $\mu \pm \sigma$ , поэтому по первой строке таблицы:

P(168 < X < 182) = P\big(\lvert X - 175\rvert \le 7\big) \approx 0{,}68

Две трети мужчин — в семи сантиметрах от среднего. Никаких таблиц не понадобилось.

Стандартизация: перевод к N(0; 1)

Для произвольных границ работает замена:

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

$Z$ показывает, на сколько сигм значение отстоит от среднего, — и для него есть таблица функции Лапласа $\Phi_0$ . Вероятность попадания в любой интервал записывается одной формулой:

P(a < X < b) = \Phi_0\!\left(\frac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi_0\!\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)

Пример 2: задача с таблицей

Тот же рост $N(175;\, 7)$ . Какая доля мужчин выше 185 см?

Стандартизуем границу:

z = \frac{185 - 175}{7} = \frac{10}{7} \approx 1{,}43

По таблице: $\Phi_0(1{,}43) \approx 0{,}4236$ , то есть $P(175 < X < 185) \approx 0{,}4236$ — столько лежит между средним и границей.

Собираем ответ. Выше среднего — половина: $P(X > 175) = 0{,}5$ . Вычитаем кусок до границы:

P(X > 185) = P(X > 175) - P(175 < X < 185) = 0{,}5 - \Phi_0(1{,}43) = 0{,}5 - 0{,}4236 = 0{,}0764

Итого $P(X > 185) \approx 7{,}6\%$ .

Правило

Схема любой задачи: стандартизуй границы $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ → возьми $\Phi_0(z)$ из таблицы → собери вероятность из кусочков, помня, что $P(-\infty < X < +\infty) = 1$ , а $P(X > \mu) = P(X < \mu) = 0{,}5$ . Рисунок колокола с заштрихованной областью спасает от ошибок сборки.

Типичные ошибки

Смешать две функции Лапласа — из «своей» таблицы и из чужого решебника. Разница в 0,5 ломает ответ.
Забыть поделить на σ при стандартизации — Z получается гигантским, а вероятность бессмысленной.
Потерять симметрию: $\Phi_0(-z) = -\Phi_0(z)$ — для отрицательных z таблица не нужна, только знак.
Ответить больше 1 или меньше 0 — вероятность так не умеет; пересобери кусочки по рисунку.

Частые вопросы

Что означают параметры μ и σ?

μ — центр колокола (среднее значение), σ — его «ширина» (стандартное отклонение). Больше σ — колокол ниже и шире, данные разбросаннее. Записывается X ~ N(μ; σ).

Зачем нужна стандартизация Z = (X − μ)/σ?