Не ботай

Интегрирование по частям: как выбирать u и не страдать

Метод для интегралов от произведений: x·eˣ, x·cos x, ln x. Вся хитрость в правильном выборе u — разбираем правило, по которому выбор делается за секунду.

Формула и её смысл

∫u dv=uv−∫v du\int u\,dv = u v - \int v\,du

Смысл сделки: мы меняем исходный интеграл на другой — ∫v du\int v\,du — в надежде, что он проще. Вся стратегия метода в одном вопросе: что назвать uu, а что dvdv, чтобы новый интеграл действительно упростился.

Суть

Правило выбора — ЛИАТЭ: Логарифм, И(обратные тригонометрические), Алгебраическое (степени xx), Тригонометрия, Экспонента. За uu бери то, что раньше в списке: оно от дифференцирования упрощается. Остальное — в dvdv: оно должно легко интегрироваться.

Три классических примера

Пример 1: степень × экспонента

∫xex dx\int x e^x\,dx

По ЛИАТЭ: алгебраическое xx раньше экспоненты, значит u=xu = x, dv=exdxdv = e^x dx. Тогда du=dxdu = dx, v=exv = e^x:

∫xex dx=xex−∫ex dx=xex−ex+C\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = x e^x - e^x + C

Проверка: (xex−ex)′=ex+xex−ex=xex(x e^x - e^x)' = e^x + x e^x - e^x = x e^x. Сошлось.

Пример 2: степень × косинус

∫xcos⁡x dx\int x \cos x\,dx

Снова u=xu = x, dv=cos⁡x dxdv = \cos x\,dx, откуда du=dxdu = dx, v=sin⁡xv = \sin x:

∫xcos⁡x dx=xsin⁡x−∫sin⁡x dx=xsin⁡x+cos⁡x+C\int x \cos x\,dx = x \sin x - \int \sin x\,dx = x \sin x + \cos x + C

Обрати внимание на знак: ∫sin⁡x dx=−cos⁡x\int \sin x\,dx = -\cos x, и минус на минус дал плюс.

Пример 3: одинокий логарифм

∫ln⁡x dx\int \ln x\,dx

Кажется, что произведения нет — но оно есть: ln⁡x⋅1\ln x \cdot 1. По ЛИАТЭ логарифм всегда uu: u=ln⁡xu = \ln x, dv=dxdv = dx, тогда du=dxxdu = \tfrac{dx}{x}, v=xv = x:

∫ln⁡x dx=xln⁡x−∫x⋅dxx=xln⁡x−∫dx=xln⁡x−x+C\int \ln x\,dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{dx}{x} = x \ln x - \int dx = x \ln x - x + C

Этот трюк с невидимой единицей — любимый вопрос на экзамене.

Типичные ошибки

Частые вопросы

Как быстро выбрать, что взять за u?

Правило ЛИАТЭ: Логарифм → Обратные тригонометрические → Алгебраические (степени) → Тригонометрические → Экспоненты. Что стоит раньше в списке — то и бери за u, остальное уйдёт в dv.

Что делать, если после применения формулы интеграл не упростился?

Скорее всего, u и dv выбраны наоборот — поменяй их местами. Если интеграл вернулся к исходному (бывает с eˣ·sin x), перенеси его в левую часть уравнения и вырази.

Можно ли применять формулу несколько раз?

Да, это норма: для ∫x²eˣdx по частям берут дважды — степень x понижается на единицу за каждый проход.

Почему при нахождении v не пишут +C?

Достаточно одной любой первообразной: константа v сократится в итоговой формуле. +C добавляется один раз — в самом конце ответа.

Связанные темы