Случайная величина и закон распределения с нуля

Случайная величина: превращаем случайность в таблицу

Случайная величина — это число, которое зависит от исхода опыта. Вся работа с ней начинается с одной таблицы — ряда распределения. Учимся его составлять, проверять и использовать.

Что это такое

Случайная величина $X$ — правило, сопоставляющее каждому исходу опыта число. Ряд распределения — таблица из двух строк: какие значения возможны и с какими вероятностями:

\begin{array}{c|ccc} X & x_1 & x_2 & \dots \\ \hline P & p_1 & p_2 & \dots \end{array} \qquad \sum_i p_i = 1

Полный разбор: две монеты

Бросаем две монеты, $X$ — число выпавших орлов. Составить ряд распределения и найти $M(X)$ .

Шаг 1. Исходы. Равновозможных исходов четыре: ОО, ОР, РО, РР.

Шаг 2. Значения $X$ и их вероятности:

$X = 0$ — только РР: $P = \tfrac{1}{4}$ ;
$X = 1$ — ОР и РО: $P = \tfrac{2}{4} = \tfrac{1}{2}$ ;
$X = 2$ — только ОО: $P = \tfrac{1}{4}$ .

Шаг 3. Ряд распределения:

$X$	0	1	2
$P$	$\tfrac{1}{4}$	$\tfrac{1}{2}$	$\tfrac{1}{4}$

Проверка: $\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} = 1$ ✓.

Шаг 4. Матожидание (по обычной формуле):

M(X) = 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 1

В среднем — один орёл из двух бросков. Логично.

Правило

Алгоритм всегда один: выписать исходы опыта → определить, какое значение $X$ даёт каждый исход → сгруппировать и посчитать вероятности → проверить сумму на единицу. Дальше таблица работает на тебя.

Как из таблицы достаются ответы

Вероятность события: $P(X \ge 1) = P(1) + P(2) = \tfrac{3}{4}$ — складываем нужные столбцы.
Матожидание: значения × вероятности, сумма.
Дисперсия: $D(X) = M(X^2) - (M(X))^2$ — как в тервере.

Типичные ошибки

Потерять исход (посчитать ОР и РО одним) — сумма вероятностей выдаст это с головой.
Не проверить $\sum p_i = 1$ — тридцать секунд против неверной задачи целиком.
Спутать значения и вероятности в матожидании: умножаем значение на его вероятность, а не вероятности между собой.
Применять ряд распределения к непрерывной величине — для роста и времени нужна плотность, это другая глава.

Частые вопросы

Чем случайная величина отличается от события?

Событие либо происходит, либо нет («выпал орёл»). Случайная величина — число с вероятностями («число орлов: 0, 1 или 2»). Одно событие — да/нет, величина — целый спектр значений.

Как проверить, что ряд распределения составлен верно?

Сумма всех вероятностей обязана равняться единице. Это первая проверка в любой задаче: не сходится — ищи потерянный исход или ошибку в подсчёте.

Что такое дискретная и непрерывная случайная величина?

Дискретная принимает отдельные значения, которые можно перечислить (число орлов, число бракованных деталей). Непрерывная — любые значения из промежутка (рост, время): для неё вместо ряда распределения используется плотность.

Зачем нужен ряд распределения?

Это полный паспорт величины: из него считаются все характеристики — матожидание, дисперсия, вероятности любых событий вида «X больше двух». Составил таблицу — задача наполовину решена.