Таблица производных: все формулы + правила дифференцирования

Таблица производных

Все производные элементарных функций в одном месте, плюс правила, по которым из них собирается производная любой функции. Закладку сюда — и на контрольную.

Основные функции

Функция	Производная
$c$ (константа)	$0$
$x^n$	$n\,x^{n-1}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$\dfrac{1}{x}$	$-\dfrac{1}{x^2}$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x \ln a$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x \ln a}$

Тригонометрия

Функция	Производная
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\operatorname{tg} x$	$\dfrac{1}{\cos^2 x}$
$\operatorname{ctg} x$	$-\dfrac{1}{\sin^2 x}$

Обратные тригонометрические

Функция	Производная
$\arcsin x$	$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos x$	$-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\operatorname{arctg} x$	$\dfrac{1}{1+x^2}$
$\operatorname{arcctg} x$	$-\dfrac{1}{1+x^2}$

Суть

Запоминалка на минусы: всё, что начинается с «ко» — косинус, котангенс, арккосинус, арккотангенс — дифференцируется с минусом.

Правила комбинирования

Правило	Формула
Сумма	$(u + v)' = u' + v'$
Константа-множитель	$(c\,u)' = c\,u'$
Произведение	$(uv)' = u'v + uv'$
Частное	$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
Сложная функция	$\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Как пользоваться таблицей

Пример: собираем производную из таблицы

Найдём производную $f(x) = \sin(x^2 + 1)$ .

Это сложная функция: внешняя — синус, внутренняя — $x^2+1$ . По таблице $(\sin x)' = \cos x$ , по правилу цепочки домножаем на производную внутренности:

f'(x) = \cos(x^2+1) \cdot (x^2+1)' = 2x\cos(x^2+1)

Любая производная в типовике собирается так: строки таблицы + правила комбинирования. Подробный разбор правил — в статьях «Производная с нуля» и «Производная сложной функции».

Частые ловушки

$(\cos x)' = -\sin x$ — минус теряют чаще всего.
$(a^x)' \ne x\,a^{x-1}$ : степенная формула работает, когда $x$ в основании, а не в показателе.
$(\ln x)' = \tfrac{1}{x}$ , но $(\log_a x)'$ — с множителем $\tfrac{1}{\ln a}$ .
Производная сложной функции без множителя внутренней — главный источник потерянных баллов.

Частые вопросы

Нужно ли учить всю таблицу наизусть?

Верхнюю часть (степень, синус, косинус, экспонента, логарифм) — да, она нужна постоянно. Обратные тригонометрические можно подсматривать первое время: они встречаются реже и восстанавливаются друг из друга сменой знака.

Где в таблице производная сложной функции вроде sin(x²)?

Её в таблице нет и быть не может: таблица даёт производные от «чистого x». Для вложенных функций таблица комбинируется с правилом цепочки: производная внешней по таблице, умноженная на производную внутренней.

Чем отличается производная ln x от log_a x?

Натуральный логарифм даёт чистую 1/x. Логарифм по другому основанию тащит за собой множитель: 1/(x·ln a). Поэтому в матанализе все логарифмы стараются свести к натуральным.

Почему у arccos и arcctg производные с минусом?

Эти функции убывают на всей области определения, значит их производные отрицательны. Пары arcsin/arccos и arctg/arcctg отличаются только знаком — удобно для запоминания.