Не ботай

Схема Бернулли: считаем повторные испытания

Одинаковый опыт повторяется n раз, нужна вероятность ровно k успехов — это схема Бернулли. Одна формула из трёх множителей закрывает целый класс задач.

Формула

Опыт повторяется nn раз независимо; в каждом испытании успех наступает с вероятностью pp, неудача — q=1−pq = 1 - p. Вероятность ровно kk успехов:

Pn(k)=Cnk pk q n−kP_n(k) = C_n^k \, p^k \, q^{\,n-k}

Три множителя — три смысла: сколькими способами расставить успехи (CnkC_n^k), вероятность самих успехов (pkp^k), вероятность остальных неудач (qn−kq^{n-k}).

Суть

Сочетания считаются формулой Cnk=n!k! (n−k)!C_n^k = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}, а для малых nn — прямо из головы: C42=6C_4^2 = 6, C31=3C_3^1 = 3, C52=10C_5^2 = 10.

Два разобранных примера

Пример 1: монета

Монету бросают 4 раза. Какова вероятность, что орёл выпадет ровно 2 раза?

Здесь n=4n = 4, k=2k = 2, p=q=12p = q = \tfrac{1}{2}:

P4(2)=C42(12)2(12)2=6⋅116=38P_4(2) = C_4^2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 6 \cdot \frac{1}{16} = \frac{3}{8}

Не 12\tfrac{1}{2}, как подсказывает интуиция: ровно половина орлов — лишь один из пяти возможных результатов, хоть и самый вероятный.

Пример 2: кубик

Кубик бросают 3 раза. Какова вероятность ровно одной шестёрки?

n=3n = 3, k=1k = 1, p=16p = \tfrac{1}{6}, q=56q = \tfrac{5}{6}:

P3(1)=C31⋅16⋅(56)2=3⋅16⋅2536=75216=2572≈0,35P_3(1) = C_3^1 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{25}{36} = \frac{75}{216} = \frac{25}{72} \approx 0{,}35

Бонус: «хотя бы один»

Тот же кубик, 3 броска. Вероятность хотя бы одной шестёрки?

Считаем через противоположное — «ни одной шестёрки»:

P=1−(56)3=1−125216=91216≈0,42P = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} \approx 0{,}42

Одна строчка вместо суммы трёх слагаемых по формуле.

Типичные ошибки

Частые вопросы

Как узнать задачу на схему Бернулли?

Три признака: опыт повторяется несколько раз, испытания независимы, в каждом ровно два исхода с постоянной вероятностью. Слова-маркеры: «ровно k раз», «хотя бы раз», «не более двух раз».

Зачем в формуле сочетания C(n,k)?

Потому что k успехов могут расположиться среди n испытаний по-разному: успехи в начале, в конце, вразнобой. C(n,k) считает число таких расстановок, и без него вероятность занижена.

Как считать «хотя бы один успех»?

Через противоположное событие: P(хотя бы один) = 1 − P(ни одного) = 1 − qⁿ. Это одна строчка вместо суммы по всем k от 1 до n.

Что делать, если n очень большое?

Точная формула становится неподъёмной, и её заменяют приближениями: теоремами Лапласа или Пуассона — их проходят сразу после схемы Бернулли.

Связанные темы