Не ботай

Формула полной вероятности: перебираем все дороги к событию

Когда событие может случиться несколькими путями, его вероятность — сумма вероятностей всех путей. Формула пугает значком суммы, а по сути это взвешенное среднее.

Формула

Пусть событие BB может произойти только вместе с одной из гипотез H1,…,HnH_1, \dots, H_n — несовместных и покрывающих все варианты. Тогда:

P(B)=∑i=1nP(Hi) P(B∣Hi)P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(H_i)\,P(B \mid H_i)

Каждое слагаемое — один «путь» к событию: вероятность пути, умноженная на вероятность события на этом пути.

Суть

Это взвешенное среднее: условные вероятности P(B∣Hi)P(B \mid H_i) усредняются с весами-гипотезами. Поэтому ответ всегда между наименьшей и наибольшей условной вероятностью — отличная проверка себя.

Классическая задача: два завода

Задача

Магазин получает лампочки с двух заводов: 60% — с первого, 40% — со второго. Брак первого завода — 1%, второго — 2%. Какова вероятность, что случайно купленная лампочка бракованная?

Гипотезы (откуда лампочка): P(H1)=0,6P(H_1) = 0{,}6, P(H2)=0,4P(H_2) = 0{,}4. Сумма 0,6+0,4=10{,}6 + 0{,}4 = 1 — гипотезы покрывают всё, порядок.

Условные вероятности брака: P(B∣H1)=0,01P(B \mid H_1) = 0{,}01, P(B∣H2)=0,02P(B \mid H_2) = 0{,}02.

Формула:

P(B)=0,6⋅0,01+0,4⋅0,02=0,006+0,008=0,014P(B) = 0{,}6 \cdot 0{,}01 + 0{,}4 \cdot 0{,}02 = 0{,}006 + 0{,}008 = 0{,}014

Ответ: 1,4%. Заметь: между 1% и 2%, ближе к первому заводу — его доля больше. Логика сходится.

Алгоритм для любой задачи

  1. Определи событие BB, вероятность которого ищем.
  2. Выпиши гипотезы — варианты «обстоятельств», при которых BB может произойти. Проверь: их вероятности в сумме дают 1.
  3. Для каждой гипотезы найди в условии P(B∣Hi)P(B \mid H_i).
  4. Перемножь по парам и сложи.

А если событие уже произошло и спрашивают «с какого завода лампочка, если она бракованная» — это следующая серия: формула Байеса.

Типичные ошибки

Частые вопросы

Как проверить, что гипотезы выбраны правильно?

Два условия: гипотезы попарно несовместны (не могут случиться одновременно) и вместе покрывают все варианты. Практическая проверка: сумма вероятностей гипотез обязана равняться единице.

Чем полная вероятность отличается от формулы Байеса?

Полная вероятность смотрит вперёд: «событие ещё не произошло, каков его шанс с учётом всех путей». Байес смотрит назад: «событие произошло, какой путь был причиной». Знаменатель Байеса — это ровно формула полной вероятности.

Откуда в задаче брать вероятности гипотез?

Из условия: доли, проценты, соотношения. «60% продукции с первого завода» означает P(H₁) = 0,6. Если даны соотношения вроде 2:3, переведи их в доли: 2/5 и 3/5.

Может ли ответ получиться больше самой большой из условных вероятностей?

Нет. Полная вероятность — взвешенное среднее условных вероятностей, поэтому она всегда лежит между наименьшей и наибольшей из них. Вышла за пределы — ищи арифметическую ошибку.

Связанные темы