Не ботай

Производная с нуля: что это и как её брать

Производная — это скорость изменения функции, и брать её проще, чем кажется: таблица плюс четыре правила закрывают любую функцию из типовика.

Что такое производная на самом деле

Производная функции f(x)f(x) в точке — это скорость её изменения: насколько быстро меняется ff, когда чуть-чуть меняется xx. На графике это наклон касательной: круто вверх — производная большая, полого — маленькая, вниз — отрицательная.

Формально производную определяют через предел:

f′(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δxf'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}

Суть

Хорошая новость: по определению производную считают один раз в жизни — на первой паре. Дальше все пользуются таблицей и правилами, и этого достаточно для любой задачи.

Мини-таблица, которую надо знать наизусть

(c)′=0(xn)′=n xn−1(sin⁡x)′=cos⁡x(cos⁡x)′=−sin⁡x(ex)′=ex(ln⁡x)′=1x(ax)′=axln⁡a(tg⁡x)′=1cos⁡2x\begin{array}{llll} (c)' = 0 & (x^n)' = n\,x^{n-1} & (\sin x)' = \cos x & (\cos x)' = -\sin x \\[4pt] (e^x)' = e^x & (\ln x)' = \dfrac{1}{x} & (a^x)' = a^x \ln a & (\operatorname{tg} x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x} \end{array}

Пример на степень

(x3)′=3x2,(x)′=(x1/2)′=12x−1/2=12x(x^3)' = 3x^2, \qquad \left(\sqrt{x}\right)' = \left(x^{1/2}\right)' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Корни и дроби — это тоже степени: перепиши x\sqrt{x} как x1/2x^{1/2}, а 1x\tfrac{1}{x} как x−1x^{-1}, и работает одна формула.

Четыре правила дифференцирования

1. Сумма: производная суммы — сумма производных.

(x3−3x+5)′=3x2−3(x^3 - 3x + 5)' = 3x^2 - 3

2. Произведение (не «произведение производных»!):

(u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'

Пример на произведение

(x2sin⁡x)′=2x⋅sin⁡x+x2⋅cos⁡x\left(x^2 \sin x\right)' = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x

3. Частное:

(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Пример на частное

(xx+1)′=1⋅(x+1)−x⋅1(x+1)2=1(x+1)2\left(\frac{x}{x+1}\right)' = \frac{1 \cdot (x+1) - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}

4. Сложная функция (правило цепочки): производная внешней функции, умноженная на производную внутренней.

(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x)\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Пример на цепочку

(sin⁡(x2))′=cos⁡(x2)⋅(x2)′=2xcos⁡(x2)\left(\sin(x^2)\right)' = \cos(x^2) \cdot (x^2)' = 2x\cos(x^2)

Читаем изнутри наружу: внутренняя функция x2x^2, внешняя — синус. Берём производную синуса (косинус), внутренность не трогаем, и домножаем на производную внутренности.

Типичные ошибки

Частые вопросы

Что показывает производная простыми словами?

Скорость изменения функции в точке. Если f(x) — путь, то производная — мгновенная скорость; если график растёт, производная положительна, если убывает — отрицательна, в вершинах она равна нулю.

Почему производная константы равна нулю?

Константа не меняется, а производная измеряет именно изменение. Нет изменения — нулевая скорость.

Как понять, что функция сложная и нужно правило цепочки?

Спроси себя: могу ли я вычислить функцию за одно действие? sin x — одно действие. sin(x²) — сначала возводишь в квадрат, потом берёшь синус: два действия, значит функция сложная и нужна цепочка.

Обязательно ли учить таблицу производных наизусть?

Базовые семь-восемь строк — да: степень, синус, косинус, экспонента, логарифм. На контрольной времени выводить их из определения не будет.

Связанные темы