Уравнение Бернулли: замена z = y^(1−n) и полный пример

Уравнение Бернулли: линейное в маскировке

Похоже на линейное, но справа мешается yⁿ. Одна замена срывает маскировку — и дальше работает уже знакомый метод линейных уравнений.

Метод

Уравнение Бернулли:

y' + p(x)\,y = q(x)\,y^n, \qquad n \neq 0,\; n \neq 1

Замена $z = y^{1-n}$ превращает его в линейное относительно $z$ — дальше метод $u \cdot v$ .

Полный разбор (n = 2)

y' + \frac{y}{x} = y^2

Шаг 1. Замена. Здесь $n = 2$ , значит $z = y^{1-2} = \tfrac{1}{y}$ , откуда $z' = -\tfrac{y'}{y^2}$ .

Шаг 2. Преобразуем уравнение. Делим всё на $y^2$ :

\frac{y'}{y^2} + \frac{1}{x y} = 1 \quad\Longrightarrow\quad -z' + \frac{z}{x} = 1 \quad\Longrightarrow\quad z' - \frac{z}{x} = -1

Получилось линейное уравнение — ровно то, что мы решали методом $uv$ .

Шаг 3. Решаем через $z = uv$ . Зануляем скобку: $v' - \tfrac{v}{x} = 0$ даёт $v = x$ . Остаётся $u' x = -1$ :

u = -\ln|x| + C \quad\Longrightarrow\quad z = x\,(C - \ln|x|)

Шаг 4. Возвращаемся к $y$ :

y = \frac{1}{z} = \frac{1}{x\,(C - \ln|x|)}

И отдельно отмечаем потерянное при делении решение $y = 0$ .

Проверка (главные члены): $y' + \tfrac{y}{x}$ при подстановке даёт $\tfrac{1}{x^2(C-\ln|x|)^2}$ — это в точности $y^2$ ✓.

Суть

Дорожная карта дифуров первого порядка теперь полная: разделяющиеся → однородные ( $t = y/x$ ) → линейные ( $uv$ ) → Бернулли ( $z = y^{1-n}$ → линейное). Каждый следующий тип сводится к предыдущему — в этом красота темы.

Типичные ошибки

Забыть вернуться от $z$ к $y$ — ответ в чужой переменной не считается.
Потерять $y = 0$ — оно гибнет при делении на $y^n$ , допиши отдельной строкой.
Перепутать знак при переходе к $z'$ : множитель $(1-n)$ бывает отрицательным — в нашем примере минус перевернул всё уравнение.
Пытаться разделить переменные напрямую — из-за суммы слева не выйдет; сначала замена.

Частые вопросы

Как распознать уравнение Бернулли?

Форма y′ + p(x)·y = q(x)·yⁿ, где n не 0 и не 1: обычное линейное, но правая часть домножена на степень y. При n = 0 это просто линейное, при n = 1 — разделяющиеся переменные.

Почему замена именно z = y^(1−n)?

Она подобрана так, что после деления уравнения на yⁿ производная z′ = (1−n)·y^(−n)·y′ собирает первые слагаемые в линейную комбинацию z′ и z. Уравнение становится линейным относительно z.

Куда потом девать z?

Решив линейное уравнение для z, вернись к y через z = y^(1−n): например, при n = 2 замена z = 1/y, значит y = 1/z. Ответ без возврата к y не засчитают.

Не теряется ли решение y = 0?

Теряется — мы делим на yⁿ. При n > 0 функция y = 0 является решением уравнения: проверь и допиши его отдельно, преподаватели это любят.

Уравнение Бернулли: линейное в маскировке

Метод

Типичные ошибки

Частые вопросы

Связанные темы