Линейные дифференциальные уравнения первого порядка: метод Бернулли (u·v)

Линейные уравнения первого порядка: метод u·v

Уравнение вида y′ + p(x)·y = q(x) решается красивым трюком: ищем решение как произведение двух функций, одну из которых выбираем сами так, чтобы всё упростилось.

Метод за четыре шага

Ищем решение в виде $y = u(x)\,v(x)$ , тогда $y' = u'v + uv'$ :

Подставить $y = uv$ в уравнение и сгруппировать слагаемые с $u$ .
Выбрать $v$ так, чтобы скобка при $u$ занулилась — это маленькое уравнение с разделяющимися переменными, константу не пишем.
С найденным $v$ уравнение превращается в $u'v = q(x)$ — найти $u$ интегрированием, здесь константа обязательна.
Перемножить: $y = uv$ .

Полный пример

y' - \frac{y}{x} = x

Шаг 1. Подставляем $y = uv$ :

u'v + uv' - \frac{uv}{x} = x \quad\Longrightarrow\quad u'v + u\left(v' - \frac{v}{x}\right) = x

Шаг 2. Требуем $v' - \tfrac{v}{x} = 0$ . Разделяем переменные: $\tfrac{dv}{v} = \tfrac{dx}{x}$ , откуда $v = x$ (константу опускаем).

Шаг 3. Остаётся $u' \cdot x = x$ , то есть $u' = 1$ :

u = x + C

Шаг 4. Собираем ответ:

y = uv = x(x + C) = x^2 + Cx

Проверка: $y' = 2x + C$ ; тогда $y' - \tfrac{y}{x} = 2x + C - x - C = x$ ✓.

Правило

Мнемоника метода: v зануляет скобку, u собирает ответ. Константа живёт только в u — если написал её в v, решение раздуется, но после упрощения совпадёт: лишняя работа.

Типичные ошибки

Константа в $v$ — не ошибка по сути, но гарантированная каша в выкладках.
Забыть константу в $u$ — а вот это уже потеря общего решения.
Не привести уравнение к виду $y' + p y = q$ перед методом — скобка не занулится.
Перепутать знак $p(x)$ : в нашем примере $p(x) = -\tfrac{1}{x}$ , минус входит в скобку.

Частые вопросы

Как узнать линейное уравнение первого порядка?

y и y′ входят в первой степени и не перемножаются между собой: y′ + p(x)·y = q(x). Если есть y², sin y или y·y′ — уравнение не линейное.

Почему при поиске v константу не пишут?

v — вспомогательная функция, нам хватит одной любой подходящей. Вся произвольность решения соберётся в константе функции u на последнем шаге.

Чем метод Бернулли отличается от метода вариации постоянной?

Результат одинаковый, техника разная: в вариации сначала решают однородное уравнение, потом «оживляют» константу. u·v обычно короче и механичнее — его чаще дают на первом курсе.

Что делать, если уравнение не приведено к стандартному виду?

Сначала привести: поделить на коэффициент при y′, перенести слагаемые. Метод работает именно для формы y′ + p(x)y = q(x).

Линейные уравнения первого порядка: метод u·v

Метод за четыре шага

Типичные ошибки

Частые вопросы

Связанные темы