Геометрическая вероятность: отрезки, площади и задача о встрече

Геометрическая вероятность: когда исходы нельзя пересчитать

Точка падает на отрезок, стрелка крутится, друзья приходят «когда-то между шестью и семью» — исходов бесконечно много, и классическая дробь m/n не работает. Вместо счёта — измерение: длины, площади, объёмы.

Формула

P(A) = \frac{\text{мера благоприятной области}}{\text{мера всей области}}

«Мера» — длина на прямой, площадь на плоскости, объём в пространстве. Идея та же, что в классике $m/n$ , только счёт заменён измерением.

Пример 1: точка на отрезке

На отрезок $[0;\, 10]$ наугад бросают точку. Вероятность, что она попадёт в $[2;\, 5]$ ?

P = \frac{5 - 2}{10 - 0} = \frac{3}{10} = 0{,}3

Пример 2: мишень

Мишень — круг радиуса $R$ , попадание равновозможно в любую точку. Какова вероятность попасть в центральный круг радиуса $R/2$ ?

Отношение площадей:

P = \frac{\pi (R/2)^2}{\pi R^2} = \frac{R^2/4}{R^2} = \frac{1}{4}

Радиус вдвое меньше — площадь вчетверо: интуиция «половина» здесь врёт.

Пример 3: задача о встрече

Два друга договорились встретиться между 18:00 и 19:00. Каждый приходит в случайный момент и ждёт 15 минут. Какова вероятность встречи?

Пусть $x$ и $y$ — минуты прихода (от 0 до 60). Все исходы — квадрат 60×60. Встреча происходит, если $|x - y| \le 15$ — полоса вдоль диагонали квадрата.

Удобнее посчитать «не встретились»: два угловых треугольника с катетами по $60 - 15 = 45$ :

P(\text{не встр.}) = \frac{2 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot 45 \cdot 45}{60 \cdot 60} = \frac{2025}{3600} = \frac{9}{16}

P(\text{встреча}) = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} \approx 0{,}44

Суть

Задача о встрече — образец метода: две случайные величины превращаются в точку на плоскости, условие — в область, вероятность — в отношение площадей. Нарисуй квадрат — и задача решается школьной геометрией.

Типичные ошибки

Сравнивать радиусы вместо площадей — вероятность живёт в мерах области, а не в её «размерах на глаз».
Решать задачу о встрече без рисунка — условие $|x-y| \le 15$ на словах не считается, на квадрате — за минуту.
Забыть согласовать единицы: если весь отрезок в часах, благоприятный участок тоже переводи в часы.
Считать вероятность точки ненулевой — у отдельной точки мера ноль.

Частые вопросы

Когда применяется геометрическое определение вместо классического?

Когда исходы непрерывны: точка на отрезке, момент времени, координата попадания. Пересчитать их нельзя, но можно измерить множество благоприятных исходов — длиной, площадью или объёмом.

Почему вероятность попасть в конкретную точку равна нулю?

Длина одной точки — ноль, и дробь даёт ноль. Это не значит «невозможно»: возможно, но среди бесконечного числа вариантов. Ненулевые вероятности здесь бывают только у целых участков.

Как понять, одномерная задача или двумерная?

Сколько случайных величин в условии. Одна (момент прихода одного автобуса) — отрезок и длины. Две (моменты прихода ДВУХ людей) — квадрат и площади: каждая пара исходов — точка на плоскости.

С чего начинать решение?

С рисунка. Начерти область всех исходов, заштрихуй благоприятную, запиши отношение мер. Без рисунка задачи о встрече решаются только случайно.

Геометрическая вероятность: когда исходы нельзя пересчитать

Формула

Типичные ошибки

Частые вопросы

Связанные темы