Зачем в ответе +C?

Производная константы — ноль, поэтому у одной производной бесконечно много первообразных, отличающихся на константу. Ответ без +C — это одна функция вместо всего семейства, на контрольной за это снимают баллы.

Как проверить, что интеграл взят правильно?

Продифференцируй ответ: должна получиться подынтегральная функция. Это железная проверка, работающая всегда — и занимает полминуты.

Почему нельзя интегрировать произведение «по множителям»?

Интеграл произведения не равен произведению интегралов — как и производная произведения не равна произведению производных. Для произведений есть свои методы: замена переменной и интегрирование по частям.

Чем неопределённый интеграл отличается от определённого?

Неопределённый — это семейство функций (первообразных). Определённый — число: площадь под графиком на отрезке. Связывает их формула Ньютона—Лейбница.

Неопределённый интеграл с нуля: что это и как считать — для чайников

Интегрирование — это дифференцирование задом наперёд: по производной восстанавливаем функцию. Разбираем таблицу, свойства и первые примеры — без страха перед значком ∫.

Что такое интеграл на пальцах

Производная отвечает на вопрос «как быстро меняется функция». Интеграл задаёт обратный: «какая функция менялась с такой скоростью?» Найти неопределённый интеграл — значит найти первообразную: функцию $F(x)$ , чья производная равна подынтегральной:

\int f(x)\,dx = F(x) + C, \qquad \text{где } F'(x) = f(x)

Правило

$+C$ — не украшение, а часть ответа: первообразных бесконечно много, и все они отличаются на константу. Забытая $C$ — самая дешёвая потеря балла в семестре.

Мини-таблица интегралов

\begin{array}{ll} \displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \;\; (n \neq -1) & \displaystyle\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C \\[10pt] \displaystyle\int e^x\,dx = e^x + C & \displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x + C \\[10pt] \displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x + C & \displaystyle\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \operatorname{tg} x + C \end{array}

Заметь зеркальность с таблицей производных: $(\sin x)' = \cos x$ , поэтому $\int \cos x\,dx = \sin x + C$ . Знаешь одну таблицу — знаешь обе.

Два свойства, на которых держится всё

Константа выносится, интеграл суммы — сумма интегралов:

\int a\,f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx, \qquad \int \big(f + g\big)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx

Пример: многочлен

\int \left(3x^2 - 2x + 5\right) dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = x^3 - x^2 + 5x + C

Проверка дифференцированием: $(x^3 - x^2 + 5x + C)' = 3x^2 - 2x + 5$ — совпало с подынтегральной функцией, ответ верный.

Пример: линейный аргумент

\int \cos 3x\,dx = \frac{\sin 3x}{3} + C

Правило для любого $f(ax+b)$ : интегрируем как обычно и делим на коэффициент при $x$ . Проверка: $\left(\tfrac{\sin 3x}{3}\right)' = \tfrac{3\cos 3x}{3} = \cos 3x$ .

Пример: степень в неудобной одежде

\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = \int x^{-1/2}\,dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C

Корни и дроби сначала переписываем степенью — дальше работает первая строка таблицы.

Когда таблицы мало

Если под интегралом произведение, дробь со «сложной» структурой или композиция функций — нужны методы посильнее: замена переменной и интегрирование по частям. Это следующие темы маршрута.

Типичные ошибки

Забыть $+C$ . Классика. Пиши её на автомате в каждом ответе.
Интегрировать произведение по множителям: $\int x e^x dx \neq \frac{x^2}{2} e^x$ . Только по частям.
Потерять деление на коэффициент: $\int \cos 3x\,dx \neq \sin 3x + C$ — потеряна тройка в знаменателе.
Применить степенную формулу к $n = -1$ : $\int \tfrac{dx}{x}$ — это $\ln|x| + C$ , отдельная строка таблицы, и модуль обязателен.

Неопределённый интеграл: операция, обратная производной