Не ботай

Неопределённый интеграл: операция, обратная производной

Интегрирование — это дифференцирование задом наперёд: по производной восстанавливаем функцию. Разбираем таблицу, свойства и первые примеры — без страха перед значком ∫.

Что такое интеграл на пальцах

Производная отвечает на вопрос «как быстро меняется функция». Интеграл задаёт обратный: «какая функция менялась с такой скоростью?» Найти неопределённый интеграл — значит найти первообразную: функцию F(x)F(x), чья производная равна подынтегральной:

∫f(x) dx=F(x)+C,где F′(x)=f(x)\int f(x)\,dx = F(x) + C, \qquad \text{где } F'(x) = f(x)

Правило

+C+C — не украшение, а часть ответа: первообразных бесконечно много, и все они отличаются на константу. Забытая CC — самая дешёвая потеря балла в семестре.

Мини-таблица интегралов

∫xn dx=xn+1n+1+C    (n≠−1)∫dxx=ln⁡∣x∣+C∫ex dx=ex+C∫sin⁡x dx=−cos⁡x+C∫cos⁡x dx=sin⁡x+C∫dxcos⁡2x=tg⁡x+C\begin{array}{ll} \displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \;\; (n \neq -1) & \displaystyle\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C \\[10pt] \displaystyle\int e^x\,dx = e^x + C & \displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x + C \\[10pt] \displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x + C & \displaystyle\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \operatorname{tg} x + C \end{array}

Заметь зеркальность с таблицей производных: (sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)' = \cos x, поэтому ∫cos⁡x dx=sin⁡x+C\int \cos x\,dx = \sin x + C. Знаешь одну таблицу — знаешь обе.

Два свойства, на которых держится всё

Константа выносится, интеграл суммы — сумма интегралов:

∫a f(x) dx=a∫f(x) dx,∫(f+g) dx=∫f dx+∫g dx\int a\,f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx, \qquad \int \big(f + g\big)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx

Пример: многочлен

∫(3x2−2x+5)dx=3⋅x33−2⋅x22+5x+C=x3−x2+5x+C\int \left(3x^2 - 2x + 5\right) dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = x^3 - x^2 + 5x + C

Проверка дифференцированием: (x3−x2+5x+C)′=3x2−2x+5(x^3 - x^2 + 5x + C)' = 3x^2 - 2x + 5 — совпало с подынтегральной функцией, ответ верный.

Пример: линейный аргумент

∫cos⁡3x dx=sin⁡3x3+C\int \cos 3x\,dx = \frac{\sin 3x}{3} + C

Правило для любого f(ax+b)f(ax+b): интегрируем как обычно и делим на коэффициент при xx. Проверка: (sin⁡3x3)′=3cos⁡3x3=cos⁡3x\left(\tfrac{\sin 3x}{3}\right)' = \tfrac{3\cos 3x}{3} = \cos 3x.

Пример: степень в неудобной одежде

∫dxx=∫x−1/2 dx=x1/21/2+C=2x+C\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = \int x^{-1/2}\,dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C

Корни и дроби сначала переписываем степенью — дальше работает первая строка таблицы.

Когда таблицы мало

Если под интегралом произведение, дробь со «сложной» структурой или композиция функций — нужны методы посильнее: замена переменной и интегрирование по частям. Это следующие темы маршрута.

Типичные ошибки

Частые вопросы

Зачем в ответе +C?

Производная константы — ноль, поэтому у одной производной бесконечно много первообразных, отличающихся на константу. Ответ без +C — это одна функция вместо всего семейства, на контрольной за это снимают баллы.

Как проверить, что интеграл взят правильно?

Продифференцируй ответ: должна получиться подынтегральная функция. Это железная проверка, работающая всегда — и занимает полминуты.

Почему нельзя интегрировать произведение «по множителям»?

Интеграл произведения не равен произведению интегралов — как и производная произведения не равна произведению производных. Для произведений есть свои методы: замена переменной и интегрирование по частям.

Чем неопределённый интеграл отличается от определённого?

Неопределённый — это семейство функций (первообразных). Определённый — число: площадь под графиком на отрезке. Связывает их формула Ньютона—Лейбница.

Чему равен неопределённый интеграл от нуля?

Просто константе: ∫0 dx = C, потому что производная любой константы — ноль. А интеграл от константы a — это ax + C: ∫5 dx = 5x + C.

Связанные темы

Идёшь по программе с нуля? Маршрут раздела «Матанализ» подскажет, что учить следующим.