Тригонометрические формулы: полная шпаргалка для вышмата

Тригонометрические формулы: шпаргалка

Тригонометрия из школы догоняет на каждом шагу вышмата: в пределах, производных и интегралах. Здесь всё нужное — в четырёх таблицах.

Основные тождества

Формула
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$	главное тождество
$\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$	определение тангенса
$1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$	делим главное на $\cos^2$
$1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}$	делим главное на $\sin^2$

Формулы сложения

\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta

\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

Двойной угол и понижение степени

Двойной угол	Понижение степени
$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$	$\sin^2\alpha = \dfrac{1 - \cos 2\alpha}{2}$
$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$	$\cos^2\alpha = \dfrac{1 + \cos 2\alpha}{2}$

Суть

Понижение степени — рабочая лошадка интегрирования: $\int \sin^2 x\,dx$ берётся только через неё. Эти две формулы стоит знать твёрже таблицы умножения.

Произведение в сумму

\sin\alpha\cos\beta = \tfrac{1}{2}\big[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\big]

\cos\alpha\cos\beta = \tfrac{1}{2}\big[\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\big]

\sin\alpha\sin\beta = \tfrac{1}{2}\big[\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)\big]

Нужны для интегралов вида $\int \sin 3x \cos 5x\,dx$ — произведение превращается в сумму, и каждое слагаемое интегрируется по таблице.

Значения на главных углах

Угол	$0$	$\pi/6$	$\pi/4$	$\pi/3$	$\pi/2$
$\sin$	$0$	$\tfrac{1}{2}$	$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos$	$1$	$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\tfrac{1}{2}$	$0$

Частые вопросы

Какие формулы реально нужны в вышмате чаще всего?

Основное тождество, двойной угол и понижение степени. Понижение степени — главный инструмент интегрирования sin²x и cos²x, без него интегральный типовик не сдать.

Как запомнить знаки в формулах сложения?

У синуса знак «наследуется»: sin(α+β) — с плюсом. У косинуса знак «переворачивается»: cos(α+β) — с минусом между слагаемыми. Проверка подстановкой β = 0 ловит перепутанные варианты.

Что делать, если формула забылась на экзамене?

Выводить из формул сложения: двойной угол — это α+α, понижение степени — перевёрнутый двойной угол. Помнишь две формулы сложения — восстановишь всё остальное.

В вышмате углы в градусах или радианах?

Только радианы: π вместо 180°. Все формулы анализа (пределы, производные) верны именно для радиан.