Школьная база для вышмата: степени, корни, формулы сокращённого умножения

Школьная база: то, из-за чего «не заходит» вышмат

Восемь из десяти затыков в матанализе — не про пределы, а про степени, дроби и скобки из школы. Здесь весь фундамент одной страницей: подшей в закладки и подглядывай без стыда.

Степени

Правило	Формула
Умножение	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
Деление	$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
Степень степени	$(a^m)^n = a^{mn}$
Отрицательная	$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$
Дробная	$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}, \qquad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$
Нулевая	$a^0 = 1 \;\; (a \neq 0)$

Суть

Дробные и отрицательные степени — главный мост в вышмат: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ и $\tfrac{1}{x} = x^{-1}$ позволяют дифференцировать и интегрировать корни и дроби одной степенной формулой.

Корни

\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}, \qquad \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}, \qquad \sqrt{a^2} = |a|

Ловушка: $\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ — корень из суммы не раскладывается. Проверка: $\sqrt{9+16} = 5$ , а $3 + 4 = 7$ .

Формулы сокращённого умножения

Название	Формула
Квадрат суммы	$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Квадрат разности	$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Разность квадратов	$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
Куб суммы	$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Сумма кубов	$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
Разность кубов	$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

В вышмате чаще всего работает разность квадратов: ею раскладывают числители в пределах 0/0 и убирают корни домножением на сопряжённое.

Дроби

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}, \qquad \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}, \qquad \frac{a/b}{c/d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

Деление на дробь = умножение на перевёрнутую. «Двухэтажные» дроби в матанализе — это всегда третья формула.

Логарифмы

Правило	Формула
Определение	$\log_a b = c \iff a^c = b$
Сумма	$\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$
Разность	$\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$
Степень	$\log_a x^p = p\log_a x$
Замена основания	$\log_a b = \dfrac{\ln b}{\ln a}$

В вышмате почти всегда используется натуральный логарифм $\ln = \log_e$ — любой другой сводится к нему заменой основания.

Ловушки, на которых горят первокурсники

$\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ и $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ — операции не раскладываются по сумме.
Сокращение слагаемых в дробях — сокращаются только множители.
$\log(x + y) \neq \log x + \log y$ — сумма логарифмов даёт логарифм произведения.
Минус перед скобкой меняет знаки у всех слагаемых внутри — потерянный знак у второго слагаемого стоит половины неверных ответов семестра.

Частые вопросы

Почему у отрицательной степени «переворачивается» число?

По определению a^(−n) = 1/aⁿ — это продолжение правила деления степеней: a² / a³ = a^(−1), а по смыслу деления это 1/a. Определение выбрано так, чтобы правила работали без исключений.

Как быстро вспомнить формулы кубов?

Разность квадратов знает каждый; кубы устроены похоже: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Во второй скобке знаки «все плюсы», а у суммы кубов — чередуются. Запоминалка: «квадрат первого, произведение, квадрат второго».

Почему нельзя сокращать слагаемые в дроби?

Сокращение — это деление числителя и знаменателя на общий МНОЖИТЕЛЬ. Слагаемое множителем не является: (x² + 1)/x² ≠ 1 + 1. Сначала разложи на множители — потом сокращай.

Что важнее всего повторить перед матанализом?

Три вещи: действия со степенями (включая дробные и отрицательные — на них стоит вся работа с корнями), формулы сокращённого умножения (на них раскрываются пределы 0/0) и сложение дробей через общий знаменатель.