Таблица интегралов: формулы и примеры

Таблица интегралов

Все табличные интегралы в одном месте: от степенной формулы до «высокого логарифма». Плюс свойства, которые превращают таблицу в рабочий инструмент.

Основные интегралы

Интеграл	Результат
$\displaystyle\int x^n\,dx$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ , $\;n \neq -1$
$\displaystyle\int \frac{dx}{x}$	$\ln\lvert x\rvert + C$
$\displaystyle\int e^x\,dx$	$e^x + C$
$\displaystyle\int a^x\,dx$	$\dfrac{a^x}{\ln a} + C$
$\displaystyle\int \sin x\,dx$	$-\cos x + C$
$\displaystyle\int \cos x\,dx$	$\sin x + C$
$\displaystyle\int \frac{dx}{\cos^2 x}$	$\operatorname{tg} x + C$
$\displaystyle\int \frac{dx}{\sin^2 x}$	$-\operatorname{ctg} x + C$

Дроби и корни

Интеграл	Результат
$\displaystyle\int \frac{dx}{x^2 + a^2}$	$\dfrac{1}{a}\operatorname{arctg}\dfrac{x}{a} + C$
$\displaystyle\int \frac{dx}{x^2 - a^2}$	$\dfrac{1}{2a}\ln\left\lvert\dfrac{x-a}{x+a}\right\rvert + C$
$\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}$	$\arcsin\dfrac{x}{a} + C$
$\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}$	$\ln\left\lvert x + \sqrt{x^2 \pm a^2}\right\rvert + C$ («высокий логарифм»)

Суть

Ориентир по знаменателю: «плюс» под дробью — жди арктангенс, «минус» — логарифм. Под корнем: $a^2 - x^2$ — арксинус, $x^2 \pm a^2$ — высокий логарифм.

Часто спрашивают на экзамене

Эти интегралы формально не «табличные», но выводятся в одну строку и спрашиваются так часто, что их держат в памяти как таблицу:

Интеграл	Результат	Как получен
$\displaystyle\int \operatorname{tg} x\,dx$	$-\ln\lvert\cos x\rvert + C$	замена $t = \cos x$
$\displaystyle\int \operatorname{ctg} x\,dx$	$\ln\lvert\sin x\rvert + C$	замена $t = \sin x$
$\displaystyle\int \ln x\,dx$	$x\ln x - x + C$	по частям
$\displaystyle\int \sin^2 x\,dx$	$\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$	понижение степени
$\displaystyle\int \cos^2 x\,dx$	$\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C$	понижение степени

Свойства, без которых таблица не работает

\int a\,f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx, \qquad \int (f \pm g)\,dx = \int f\,dx \pm \int g\,dx

И правило линейного аргумента: если $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ , то

\int f(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}F(ax+b) + C

Как пользоваться таблицей

Пример

\int \frac{dx}{x^2 + 9} = \frac{1}{3}\operatorname{arctg}\frac{x}{3} + C

Здесь $a^2 = 9$ , значит $a = 3$ — подставляем в строку с арктангенсом. Проверка — дифференцируем ответ:

\left(\frac{1}{3}\operatorname{arctg}\frac{x}{3}\right)' = \frac{1}{3} \cdot \frac{1/3}{1 + x^2/9} = \frac{1/9}{1 + x^2/9} = \frac{1}{9 + x^2}

— исходная функция, всё верно.

Если под интегралом не «чистая» табличная форма — сначала методы: замена, части или разложение дроби, и только потом таблица.

Частые ловушки

Забыть $+C$ — в каждой строке он не для красоты.
$\int \sin x\,dx = -\cos x$ : минус у косинуса появляется при интегрировании синуса, а не наоборот.
Степенная формула при $n = -1$ не работает — это отдельная строка с логарифмом.
Потерять $\tfrac{1}{a}$ в арктангенсе и в правиле линейного аргумента.

Частые вопросы

Почему в каждой строке таблицы стоит +C?

Неопределённый интеграл — это всё семейство первообразных, отличающихся на константу. Без +C записана только одна из них, и на контрольной такой ответ считается неполным.

Что делать, если моего интеграла нет в таблице?

Свести к табличному: преобразовать подынтегральную функцию алгебраически, сделать замену переменной или применить интегрирование по частям. Таблица — конечная станция любого метода.

Как запомнить, где арктангенс, а где логарифм?

Смотри на знак в знаменателе: x²+a² (плюс, корней нет) даёт арктангенс; x²−a² (минус, раскладывается на множители) даёт логарифм отношения. Плюс — гладко и без разрывов, минус — развал на дроби.

Верна ли таблица для определённых интегралов?

Да: по формуле Ньютона—Лейбница берёшь первообразную из этой же таблицы и подставляешь пределы. Только +C в определённом интеграле не пишется — она сокращается.