Не ботай

Как решать пределы: пять приёмов на все случаи

Почти любой предел из типовика решается одним из пяти приёмов. Разбираем каждый на примере — от честной подстановки до замечательных пределов.

Главный алгоритм

Любой предел начинается одинаково: подставь точку. Дальше два варианта:

  1. Получилось число — поздравляю, это ответ.
  2. Получилось 00\tfrac{0}{0}, ∞∞\tfrac{\infty}{\infty} и подобное — это неопределённость, и её надо раскрывать одним из приёмов ниже.

Суть

Неопределённость — не ошибка, а сигнал: «за этой дробью прячется настоящий ответ, копай дальше». Весь навык решения пределов — это узнавать тип неопределённости и знать приём против неё.

Приём 1. Честная подстановка

Пример

lim⁡x→3x2+1x−1=9+13−1=5\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 1}{x - 1} = \frac{9 + 1}{3 - 1} = 5

Никакой неопределённости — просто арифметика. Не усложняй, такие задачи тоже бывают.

Приём 2. Неопределённость 0/0 с многочленами — раскладываем на множители

Если при подстановке и числитель, и знаменатель дают ноль, значит оба делятся на (x−a)(x - a). Раскладываем, сокращаем, подставляем снова.

Пример

lim⁡x→2x2−4x−2=00\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{0}{0}

Раскладываем числитель как разность квадратов и сокращаем:

lim⁡x→2(x−2)(x+2)x−2=lim⁡x→2 (x+2)=4\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2}\,(x + 2) = 4

Приём 3. Неопределённость ∞/∞ — делим на старшую степень

Пример

lim⁡x→∞3x2+x2x2−5=∞∞\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + x}{2x^2 - 5} = \frac{\infty}{\infty}

Делим числитель и знаменатель на x2x^2 — старшую степень:

lim⁡x→∞3+1x2−5x2=3+02−0=32\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \tfrac{1}{x}}{2 - \tfrac{5}{x^2}} = \frac{3 + 0}{2 - 0} = \frac{3}{2}

Все слагаемые вида cxk\tfrac{c}{x^k} на бесконечности умирают — остаются старшие коэффициенты.

Приём 4. Корни — домножаем на сопряжённое

Когда в 0/0 участвует корень, разложить на множители не выйдет — зато помогает домножение на сопряжённое выражение (то же, но со знаком «плюс» вместо «минус»).

Пример

lim⁡x→01+x−1x=00\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \frac{0}{0}

Домножаем числитель и знаменатель на 1+x+1\sqrt{1+x} + 1:

lim⁡x→0(1+x)−1x(1+x+1)=lim⁡x→011+x+1=12\lim_{x \to 0} \frac{(1+x) - 1}{x\left(\sqrt{1+x} + 1\right)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} = \frac{1}{2}

Сверху сработала разность квадратов, корень исчез, xx сократился.

Приём 5. Замечательные пределы

Два предела, которые надо знать наизусть:

lim⁡x→0sin⁡xx=1иlim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad\text{и}\qquad \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e

Пример на первый замечательный

lim⁡x→0sin⁡5xx=lim⁡x→0sin⁡5x5x⋅5=1⋅5=5\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \cdot 5 = 1 \cdot 5 = 5

Трюк один и тот же: достроить под синусом и в знаменателе одинаковый аргумент, а множитель вынести.

Типичные ошибки

Частые вопросы

С чего начинать решение любого предела?

С подстановки точки в выражение. Если получилось обычное число — это ответ. Если получилась неопределённость вида 0/0 или ∞/∞ — выбираешь приём для её раскрытия.

Что такое неопределённость и почему её нельзя оставить?

Это выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞−∞, 1^∞: их значение не определено — за ними может прятаться любое число. Ответ «0/0» на контрольной — это ноль баллов, неопределённость обязательно раскрывается.

Когда можно применять правило Лопиталя?

Только к неопределённостям 0/0 и ∞/∞ и только если преподаватель уже дал производные. В начале семестра пределы решают алгебраическими приёмами — их и спрашивают.

Как быстро найти предел отношения многочленов на бесконечности?

Сравнить старшие степени. Степени равны — ответ равен отношению старших коэффициентов; степень числителя меньше — ноль; больше — бесконечность.

Связанные темы