Что означает нулевой определитель?

Строки (или столбцы) матрицы линейно зависимы: одна выражается через другие. У такой матрицы нет обратной, а система уравнений с ней не имеет единственного решения.

По какой строке раскладывать определитель?

По любой — результат одинаковый. Выгоднее всего брать строку или столбец, где больше нулей: каждое слагаемое с нулём отпадает сразу.

Работает ли правило треугольников для 4×4?

Нет, оно только для 3×3. Определитель 4×4 считают разложением по строке (получится четыре определителя 3×3) или приведением к треугольному виду методом Гаусса.

Может ли определитель быть отрицательным?

Да, это обычное дело. Знак — часть ответа: например, перестановка двух строк меняет знак определителя на противоположный.

Определитель матрицы: как вычислить 2×2 и 3×3 — правило треугольников и разложение

Определитель — одно число, которое рассказывает о матрице почти всё: обратима ли она и единственно ли решение системы. Учимся считать его для 2×2 и 3×3 двумя способами.

Зачем вообще нужен определитель

Определитель ( $\det A$ , он же $|A|$ ) — это число, вычисляемое из квадратной матрицы. Оно отвечает на два главных вопроса первого курса: есть ли у матрицы обратная (есть, если $\det A \neq 0$ ) и имеет ли СЛАУ единственное решение (тот же критерий).

2×2: крест-накрест

Произведение главной диагонали минус произведение побочной:

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Пример 2×2

\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 5 = 6 - 5 = 1

3×3, способ 1: правило треугольников

Три произведения «в плюс»: главная диагональ и два треугольника с вершинами параллельно ей. Три «в минус»: побочная диагональ и её треугольники.

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}

Пример 3×3 треугольниками

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 5 & 2 & 0 \end{pmatrix}

Слагаемые «в плюс»:

2 \cdot 4 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 5 + 3 \cdot 0 \cdot 2 = 0 + 5 + 0 = 5

Слагаемые «в минус»:

3 \cdot 4 \cdot 5 + 2 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 \cdot 0 = 60 + 4 + 0 = 64

\det A = 5 - 64 = -59

3×3, способ 2: разложение по строке

Каждый элемент строки умножаем на определитель 2×2, оставшийся после вычёркивания его строки и столбца, и чередуем знаки $+\,-\,+$ :

Тот же пример разложением

Раскладываем по первой строке:

\det A = 2\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} + 3\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}

= 2(0 - 2) - 1(0 - 5) + 3(0 - 20) = -4 + 5 - 60 = -59

Ответ совпал с правилом треугольников — так и должно быть. Совпадение двух способов — лучшая проверка на контрольной.

Суть

Выгоднее раскладывать по строке или столбцу с нулями: в нашем примере в первом столбце есть ноль, и одно из трёх слагаемых пропало бы сразу.

Свойства, которые экономят время

Есть нулевая строка или столбец → определитель равен нулю, можно не считать.
Две одинаковые (или пропорциональные) строки → тоже ноль.
Перестановка двух строк меняет знак определителя.
У треугольной матрицы определитель — просто произведение диагонали.

Типичные ошибки

Потерять знак «минус» у второго слагаемого при разложении по строке — знаки чередуются: $+\,-\,+$ .
Применить правило треугольников к 4×4 — оно работает только для 3×3.
Перепутать диагонали в 2×2: из произведения главной вычитается побочная, не наоборот.
Считать один раз. Два способа дают контроль: не сошлось — ищи арифметику.

Определитель матрицы: считаем без паники