Не ботай

Предел последовательности: куда сходится бесконечный список

Последовательность — это бесконечный список чисел, а её предел — число, к которому список прижимается. С этого понятия начинается весь матанализ — разбираем без эпсилон-паники.

Что такое предел списка

Последовательность ana_n — числа, занумерованные натуральными индексами: a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \dots Запись

lim⁡n→∞an=a\lim_{n \to \infty} a_n = a

означает: с ростом номера члены прижимаются к числу aa — и любой коридор вокруг aa, каким бы узким он ни был, с некоторого номера ловит все члены без исключений.

Пример 1: отношение многочленов

lim⁡n→∞2n+1n+3\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{n + 3}

Как и у функций, делим на старшую степень nn:

lim⁡n→∞2+1n1+3n=2+01+0=2\lim_{n \to \infty} \frac{2 + \tfrac{1}{n}}{1 + \tfrac{3}{n}} = \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2

Проверка интуицией: при n=1000n = 1000 дробь равна 20011003≈1,995\tfrac{2001}{1003} \approx 1{,}995 — действительно прижимается к 2.

Пример 2: геометрическая — три режима

(12)n→0,1n→1,3n→∞\left(\frac{1}{2}\right)^n \to 0, \qquad 1^n \to 1, \qquad 3^n \to \infty

Правило ∣q∣<1⇒qn→0|q| < 1 \Rightarrow q^n \to 0 — рабочая лошадка всей темы: на нём держится сумма геометрической прогрессии и признаки сходимости рядов.

Пример 3: знаменитая последовательность

an=(1+1n)na_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

Она возрастает и ограничена сверху — по теореме Вейерштрасса предел существует. Это число и называется e≈2,718e \approx 2{,}718 — второй замечательный предел родом именно отсюда.

Суть

Практический мост: все приёмы из статьи «Как решать пределы» работают и для последовательностей — только вместо x→∞x \to \infty пишется n→∞n \to \infty. Отдельно у последовательностей живут лишь qnq^n и факториалы.

Типичные ошибки

Частые вопросы

Как читать определение с ε по-человечески?

«Какую бы точность ε ни задали, начиная с некоторого номера все члены попадают в ε-коридор вокруг предела». Смысл: чем дальше по списку, тем ближе к пределу — и любую близость рано или поздно обеспечим.

Чем предел последовательности отличается от предела функции?

У последовательности аргумент — только натуральные номера n = 1, 2, 3…, и n всегда стремится к бесконечности. У функции x пробегает все числа и может стремиться куда угодно. Техника счёта при этом почти одинаковая.

Всякая ли последовательность имеет предел?

Нет: (−1)ⁿ прыгает между −1 и 1 и не сходится никуда. Классический признак существования: монотонная и ограниченная последовательность обязательно сходится (теорема Вейерштрасса).

Что происходит с qⁿ при разных q?

Три случая, которые надо знать: |q| < 1 — стремится к нулю; q = 1 — постоянная единица; |q| > 1 — уходит в бесконечность. На этом держатся геометрическая прогрессия и признаки сходимости рядов.

Связанные темы

Идёшь по программе с нуля? Маршрут раздела «Матанализ» подскажет, что учить следующим.