Задача Коши: как найти частное решение дифференциального уравнения

Задача Коши: выбираем свою кривую из семейства

Общее решение дифура — это бесконечное семейство кривых с константами C. Начальное условие выбирает из них одну конкретную. Найти её — и есть задача Коши.

Алгоритм

Найти общее решение уравнения — с константами.
Подставить начальные условия и получить уравнения на константы.
Решить их и записать частное решение — уже без произвольных констант.

Пример 1: первый порядок

y' = 2x, \qquad y(1) = 3

Общее решение — обычное интегрирование:

y = x^2 + C

Подставляем условие: $3 = 1^2 + C$ , откуда $C = 2$ .

Ответ: $y = x^2 + 2$ — единственная парабола семейства, проходящая через точку $(1; 3)$ .

Пример 2: второй порядок — два условия

y'' + 4y = 0, \qquad y(0) = 1, \quad y'(0) = 4

Общее решение мы нашли в статье про линейные уравнения 2-го порядка:

y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x

Условие 1: $y(0) = C_1 \cos 0 + C_2 \sin 0 = C_1 = 1$ .

Условие 2. Сначала производная:

y' = -2C_1 \sin 2x + 2C_2 \cos 2x \quad\Rightarrow\quad y'(0) = 2C_2 = 4 \quad\Rightarrow\quad C_2 = 2

Ответ: $y = \cos 2x + 2\sin 2x$ .

Проверка: $y(0) = 1$ ✓; $y'(0) = 2 \cdot 2 = 4$ ✓, и уравнение удовлетворяется: $y'' = -4\cos 2x - 8\sin 2x = -4y$ ✓.

Правило

Число условий = порядок уравнения = число констант. Если после подстановки условий осталась хоть одна буква $C$ — задача Коши не дорешена.

Типичные ошибки

Подставить условия до нахождения общего решения — константам ещё неоткуда взяться.
Забыть продифференцировать перед подстановкой условия на $y'$ : условие ставится в производную, а не в саму функцию.
Потерять одно из условий во втором порядке — останется буква $C$ , решение не частное.
Не проверить ответ подстановкой обоих условий — 30 секунд против пересданной контрольной.

Частые вопросы

Чем частное решение отличается от общего?

Общее содержит произвольные константы и описывает все решения сразу. Частное — одно конкретное решение, где константы уже вычислены из начальных условий.

Сколько нужно начальных условий?

Столько, каков порядок уравнения: первый порядок — одно условие y(x₀) = y₀; второй — два: значение функции и значение производной в той же точке.

В каком порядке действовать?

Сначала полностью найти общее решение с константами, потом подставить начальные условия и вычислить константы. Подставлять условия в само уравнение до решения — бессмысленно.

Что значит запись y(1) = 3 геометрически?

Искомая кривая обязана пройти через точку (1; 3). А условие y′(1) = 2 добавляет: и пройти через неё с наклоном 2. Условия «прибивают» кривую к плоскости.

Задача Коши: выбираем свою кривую из семейства

Алгоритм

Типичные ошибки

Частые вопросы

Связанные темы