Среднее, дисперсия и стандартное отклонение: задачи с решением

Среднее, дисперсия и отклонение: три числа, описывающие данные

Любой набор данных матстат сжимает до пары чисел: где центр (среднее) и как сильно данные разбросаны вокруг него (дисперсия и её корень — стандартное отклонение). Считаем всё на одной задаче.

Три формулы

Для выборки $x_1, x_2, \dots, x_n$ :

Выборочное среднее — центр данных:

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}

Выборочная дисперсия — средний квадрат отклонения от центра:

D = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2

Стандартное отклонение — тот же разброс в нормальных единицах:

\sigma = \sqrt{D}

Полный разбор задачи

Оценки студента за семестр: $3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 4$ . Найти среднее, дисперсию и стандартное отклонение.

Шаг 1. Среднее:

\bar{x} = \frac{3 + 4 + 4 + 5 + 4}{5} = \frac{20}{5} = 4

Шаг 2. Отклонения от среднего и их квадраты:

$x_i$	3	4	4	5	4
$x_i - \bar{x}$	−1	0	0	1	0
$(x_i - \bar{x})^2$	1	0	0	1	0

Шаг 3. Дисперсия:

D = \frac{1 + 0 + 0 + 1 + 0}{5} = \frac{2}{5} = 0{,}4

Шаг 4. Стандартное отклонение:

\sigma = \sqrt{0{,}4} \approx 0{,}63

Читаем ответ: учится в среднем на 4, типичное отклонение от этого уровня — меньше балла. Стабильный студент.

Суть

Быстрая проверка шага 2: сумма отклонений $(x_i - \bar{x})$ всегда равна нулю — минусы и плюсы обязаны сократиться. Здесь: $-1+0+0+1+0 = 0$ ✓. Не ноль — среднее посчитано неверно.

Смещённая и несмещённая: в чём разница

Если по этой же выборке нужно оценить разброс всей генеральной совокупности (всех студентов, а не одного), делят на $n - 1$ :

s^2 = \frac{1}{n-1}\sum (x_i - \bar{x})^2 = \frac{2}{4} = 0{,}5

Логика поправки: выборочное среднее «подстроилось» под данные и занизило разброс — деление на $n-1$ это компенсирует.

Типичные ошибки

Забыть возвести отклонения в квадрат — сумма без квадратов даст ноль всегда.
Перепутать $n$ и $n-1$ — читай, что именно просят: выборочную или исправленную.
Выдать дисперсию за отклонение: σ — это корень из D, в ответе часто нужны оба.
Округлять на промежуточных шагах — среднее держи точным, иначе отклонения поплывут.

Частые вопросы

Чем выборочная дисперсия отличается от дисперсии случайной величины?

Формулой-близнецом: в тервере усредняем по вероятностям, в матстате — по реальным данным выборки. Смысл один: средний квадрат отклонения от центра.

Почему в некоторых учебниках делят на n, а в других на n−1?

Деление на n даёт смещённую (простую) дисперсию, на n−1 — несмещённую (исправленную), которая точнее оценивает дисперсию всей генеральной совокупности по выборке. В задаче смотри, какую просят; по умолчанию «выборочная дисперсия» обычно на n.

Зачем нужно стандартное отклонение, если есть дисперсия?

Дисперсия измеряется в квадратных единицах (баллы², рубли²) — интуиции ноль. Корень возвращает обычные единицы: σ = 0,63 балла читается как «типичный разброс оценок меньше балла».

Может ли дисперсия выборки быть нулевой?

Да — если все значения одинаковы: разброса нет. Отрицательной — никогда: это среднее квадратов.