Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными: метод и примеры

Разделяющиеся переменные: первый тип дифуров

Если уравнение позволяет собрать все y слева, а все x справа — оно решается в два действия: развести и проинтегрировать. С этого типа начинается весь курс дифуров.

Метод в два действия

Записать $y' = \tfrac{dy}{dx}$ и развести: всё с $y$ (включая $dy$ ) — влево, всё с $x$ (включая $dx$ ) — вправо.
Проинтегрировать обе части и добавить константу.

Пример 1: классика

y' = xy

Разводим переменные (делим на $y$ , умножаем на $dx$ ):

\frac{dy}{y} = x\,dx

Интегрируем обе части:

\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C \quad\Rightarrow\quad y = C_1 e^{x^2/2}

где $C_1 = \pm e^C$ — просто новая константа.

Проверка: $y' = C_1 e^{x^2/2} \cdot x = xy$ ✓.

Пример 2: задача Коши

y' = \frac{y}{x}, \qquad y(1) = 3

Разводим и интегрируем:

\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x} \;\Rightarrow\; \ln|y| = \ln|x| + C \;\Rightarrow\; y = C_1 x

Подставляем начальное условие: $3 = C_1 \cdot 1$ , значит $C_1 = 3$ .

Ответ: $y = 3x$ .

Осторожно

Деля на $g(y)$ , ты можешь потерять решения, где $g(y) = 0$ . В примере 1 функция $y = 0$ — тоже решение: проверь такие случаи отдельно, преподаватели это любят.

Типичные ошибки

Забыть константу после интегрирования — без C это не общее решение.
Написать C с обеих сторон: две константы схлопываются в одну, оставь одну.
Потерять решение $y = 0$ (или другие нули того, на что делил).
Не выразить y, когда просят явный вид: $\ln|y| = \dots$ — полуфабрикат, доведи до $y = \dots$ .

Частые вопросы

Как узнать, что переменные разделяются?

Правая часть распадается в произведение «функция от x» × «функция от y»: y′ = f(x)·g(y). Если x и y сцеплены суммой или чем-то нераспутываемым — это другой тип уравнения.

Что делать с константой C?

Писать её сразу после интегрирования — одну, с любой стороны. Дальше её можно переобозначать как угодно (e^C — тоже константа): главное, чтобы в общем решении она осталась.

Что такое задача Коши?

Уравнение плюс начальное условие вида y(x₀) = y₀. Сначала находишь общее решение с C, потом подставляешь условие и находишь конкретную C — получается частное решение.

Куда девается y′ и откуда берутся dy и dx?

y′ — это dy/dx. Записал производную дробью — и переменные можно разносить по сторонам умножением, как в обычном уравнении.

Разделяющиеся переменные: первый тип дифуров

Метод в два действия

Типичные ошибки

Частые вопросы

Связанные темы