Не ботай

Однородные уравнения: когда всё зависит от y/x

Если правую часть уравнения можно записать через одну дробь y/x — это однородное уравнение. Замена t = y/x превращает его в разделяющиеся переменные.

Метод

Замена t=yxt = \tfrac{y}{x}, то есть y=txy = t x, откуда по правилу произведения:

y′=t+x t′y' = t + x\,t'

Подставляем в уравнение — и по построению оно распадается в разделяющиеся переменные относительно tt и xx.

Полный пример

y′=x+yxy' = \frac{x + y}{x}

Правая часть: 1+yx1 + \tfrac{y}{x} — зависит только от yx\tfrac{y}{x}, уравнение однородное.

Замена. y=txy = tx, y′=t+xt′y' = t + x t':

t+x t′=1+t⟹x t′=1t + x\,t' = 1 + t \quad\Longrightarrow\quad x\,t' = 1

Разделяем переменные:

dt=dxx⟹t=ln⁡∣x∣+Cdt = \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad t = \ln|x| + C

Возвращаемся к yy:

y=tx=xln⁡∣x∣+Cxy = tx = x\ln|x| + Cx

Проверка: y′=ln⁡∣x∣+1+Cy' = \ln|x| + 1 + C, а x+yx=1+t=1+ln⁡∣x∣+C\tfrac{x+y}{x} = 1 + t = 1 + \ln|x| + C — совпало ✓.

Суть

Дорожная карта первого курса по дифурам: сначала проверь разделяющиеся переменные, потом однородность (замена t=y/xt = y/x), потом линейность (метод uvuv). Три типа закрывают большинство типовиков.

Типичные ошибки

Частые вопросы

Как распознать однородное уравнение?

Попробуй записать правую часть как функцию одной переменной y/x. Признак на глаз: числитель и знаменатель — многочлены одинаковой суммарной степени по x и y, например (x² + y²)/(xy).

Почему после замены обязательно появляется xt′?

Потому что y = t·x — произведение двух функций от x, и его производная равна t + x·t′ по правилу произведения. Потерять слагаемое x·t′ — значит сломать всё решение.

Не путается ли это с «однородными линейными» уравнениями?

Названия совпадают, смысл разный: здесь «однородное» — про правую часть вида f(y/x); в линейных уравнениях «однородное» — про нулевую правую часть. Смотри на контекст задачи.

Что делать после того, как t найдено?

Вернуться к исходной переменной: y = t·x. Ответ должен быть выражен через x и y, а не через вспомогательную t.

Связанные темы