Сложение и умножение вероятностей: когда что применять

Сложение и умножение вероятностей: «или» и «и»

Половина путаницы в тервере — из-за одного вопроса: складывать вероятности или перемножать? Ответ прячется в формулировке задачи: «или» — складываем, «и» — умножаем. Разбираем оба правила с поправками.

Сложение: «или»

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Вычитание $P(AB)$ убирает двойной счёт: исходы, где случились оба события, иначе посчитались бы дважды. Для несовместных событий $P(AB) = 0$ и формула упрощается до честной суммы.

Пример 1: сложение с пересечением

Из колоды в 36 карт тянут одну. Какова вероятность вытащить туза или пику?

P = \frac{4}{36} + \frac{9}{36} - \frac{1}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}

Вычли $\tfrac{1}{36}$ — туза пик: он и туз, и пика, без поправки посчитался бы дважды.

Умножение: «и»

Для независимых событий:

P(AB) = P(A) \cdot P(B)

Для зависимых — через условную вероятность:

P(AB) = P(A) \cdot P(B \mid A)

Пример 2: независимые стрелки

Два стрелка бьют по мишени: первый попадает с вероятностью 0,8, второй — 0,7.

Оба попали («и», независимые):

P = 0{,}8 \cdot 0{,}7 = 0{,}56

Хотя бы один попал — через противоположное «оба промахнулись»:

P = 1 - 0{,}2 \cdot 0{,}3 = 1 - 0{,}06 = 0{,}94

Пример 3: зависимые события

В ящике 3 белых и 2 чёрных шара. Достаём два подряд без возвращения. Вероятность, что оба белые?

Первый белый: $\tfrac{3}{5}$ . Второй белый при условии, что первый уже взят (осталось 2 белых из 4):

P = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = 0{,}3

Перемножили бы «в лоб» $\tfrac{3}{5} \cdot \tfrac{3}{5}$ — получили бы 0,36 и ошибку: события зависимы.

Правило

Трюк «хотя бы один»: почти всегда быстрее считать через противоположное событие — $P(\text{хотя бы один}) = 1 - P(\text{ни одного})$ . Одна строчка вместо суммы нескольких случаев.

Типичные ошибки

Сложить вместо умножить (и наоборот) — держи в голове «или/и».
Забыть минус пересечение при сложении совместных событий — вероятность вылезает за единицу, это сигнал.
Умножить зависимые «в лоб»: после первого вытаскивания состав изменился — вторая вероятность условная.
Считать «хотя бы один» перебором случаев — через противоположное быстрее и безопаснее.

Частые вопросы

Как быстро понять, складывать или умножать?

По союзу в вопросе: «наступит А ИЛИ В» — сложение, «наступят А И В» (оба, одновременно, подряд) — умножение. Дальше остаются поправки: минус пересечение при сложении, условная вероятность при умножении зависимых.

Что такое несовместные события?

Те, что не могут произойти одновременно: на одном кубике не выпадут сразу 2 и 5. Для них сложение чистое, без вычитания пересечения — оно равно нулю.

Как проверить независимость событий?

По определению: события независимы, если P(AB) = P(A)·P(B). Житейски: исход одного не меняет шансов другого — броски разных монет независимы, а вытаскивание карт без возвращения — нет.

Что такое условная вероятность P(A|B)?

Вероятность А при условии, что В уже случилось. Именно она стоит в умножении зависимых событий: P(AB) = P(A)·P(B|A) — «первое случилось, и при этом условии случилось второе».