Матричные уравнения: как решать AX = B и XA = B

Матричные уравнения: главное — с какой стороны умножать

Уравнение AX = B решается «делением» на A — умножением на обратную матрицу. Единственная тонкость, на которой валятся: умножать надо с правильной стороны, ведь у матриц AB ≠ BA.

Два шаблона

AX = B \;\Rightarrow\; X = A^{-1}B \qquad\qquad XA = B \;\Rightarrow\; X = BA^{-1}

Логика одна: умножаем обе части с той стороны, где стоит $A$ , чтобы $A^{-1}A = E$ схлопнулось и осталось чистое $X$ .

Осторожно

$A^{-1}B$ и $BA^{-1}$ — это разные матрицы. Перепутать сторону — значит решить другое уравнение. Прежде чем считать, выпиши шаблон.

Полный разбор AX = B

\begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

Шаг 1. Обратная к A. Для этой матрицы мы уже находили её в статье про обратную: $\det A = 1$ ,

A^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & -7 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

Шаг 2. Умножаем слева:

X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 4 & -7 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 14 & 0 - 7 \\ -1 + 4 & 0 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 & -7 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}

Шаг 3. Проверка — подставляем в исходное уравнение:

AX = \begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -10 & -7 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20+21 & -14+14 \\ -10+12 & -7+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = B \;✓

Алгоритм

Привести уравнение к шаблону $AX = B$ или $XA = B$ (перенести слагаемые, вынести $X$ ).
Проверить $\det A \neq 0$ — иначе метод не работает.
Найти $A^{-1}$ (формула 2×2 или метод дополнений).
Умножить с правильной стороны и перемножить матрицы.
Проверить подстановкой — одна минута против переписанной работы.

Типичные ошибки

Умножить не с той стороны — ошибка №1: решается другое уравнение с другим ответом.
Не проверить определитель перед поиском обратной.
Сократить матрицы «как числа»: из $AX = AY$ следует $X = Y$ только при обратимой $A$ .
Пропустить проверку — она ловит и сторону умножения, и арифметику разом.

Частые вопросы

Почему нельзя просто «поделить на матрицу»?

Операции деления для матриц нет — её заменяет умножение на обратную матрицу A⁻¹. А поскольку умножение матриц некоммутативно, критично, с какой стороны умножать: слева для AX = B, справа для XA = B.

Как запомнить, с какой стороны умножать?

A⁻¹ ставится с той же стороны, где A стоит рядом с X: в AX = B матрица слева от X — умножаем слева: X = A⁻¹B. В XA = B — справа: X = BA⁻¹. Цель — чтобы A⁻¹A схлопнулось в E рядом с X.

Что делать, если у A нет обратной?

Если det A = 0, метод не работает: уравнение либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много. Тогда X расписывают по элементам и решают как систему линейных уравнений Гауссом.

Как решать AXB = C?

Двумя умножениями: слева на A⁻¹ и справа на B⁻¹, получится X = A⁻¹CB⁻¹. Каждая обратная — со своей стороны, порядок не путать.