Ранг матрицы: как найти методом Гаусса — с примером и теоремой Кронекера—Капелли

Ранг матрицы: сколько строк работают по-настоящему

Ранг — это число независимых строк матрицы: сколько из них несут новую информацию, а не повторяют соседей. Считается лесенкой Гаусса и решает вопрос «есть ли у системы решения».

Как считать: лесенка и подсчёт ступенек

Алгоритм один: привести матрицу элементарными преобразованиями к ступенчатому виду и посчитать ненулевые строки — их число и есть ранг.

Пример

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}

Убираем первый столбец под диагональю: $R_2 - 2R_1$ и $R_3 - R_1$ :

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{\;R_2 \leftrightarrow R_3\;}\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Ненулевых строк две: $\operatorname{rang} A = 2$ . Оно и видно: вторая строка исходной матрицы — это удвоенная первая, честных строк там всего две.

Правило

Теорема Кронекера—Капелли: СЛАУ совместна ⟺ $\operatorname{rang} A = \operatorname{rang} \tilde{A}$ (расширенной матрицы). Дальше: ранг равен числу неизвестных — решение одно; меньше — бесконечно много (свободные переменные = разница).

Зачем ранг нужен на практике

Диагноз системы без решения: посчитал два ранга — узнал, есть ли решения и сколько.
Проверка линейной независимости векторов: составь из них матрицу — ранг равен числу векторов ⟺ независимы.
Определитель через ранг: у квадратной матрицы $\det A \neq 0$ ⟺ ранг полный.

Типичные ошибки

Считать все строки лесенки, включая нулевые — нулевые не считаются.
Испугаться перестановки строк — она законна и ранг не меняет.
Сравнить ранги «на глаз» без приведения обеих матриц (A и расширенной) к ступенчатому виду.
Заявить ранг больше меньшего размера матрицы — такого не бывает.

Частые вопросы

Что показывает ранг простыми словами?

Сколько строк (или столбцов — это одно и то же число) линейно независимы. Если одна строка — сумма или кратное других, информации она не добавляет и на ранг не влияет.

Как связаны ранг и решения системы (Кронекер—Капелли)?

Система совместна, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы. Если при этом ранг равен числу неизвестных — решение единственно; меньше — решений бесконечно много.

Меняют ли элементарные преобразования ранг?

Нет — в этом и фокус метода: перестановки строк, умножение на ненулевое число и прибавление строк ранг сохраняют. Поэтому его считают по ступенчатому виду.

Каким может быть ранг матрицы 3×5?

От 0 (нулевая матрица) до 3 — ранг не превышает меньшего из размеров матрицы.