Не ботай

Собственные значения и векторы: направления, которые матрица не сворачивает

Собственный вектор — направление, которое матрица только растягивает, не поворачивая. Во сколько раз растягивает — это собственное значение. Считаем оба на примере.

Алгоритм из трёх шагов

  1. Составить характеристическое уравнение: det⁡(A−λE)=0\det(A - \lambda E) = 0.
  2. Решить его — корни и есть собственные значения λ\lambda.
  3. Для каждого λ\lambda решить систему (A−λE) v=0(A - \lambda E)\,v = 0 — ненулевые решения и есть собственные векторы.

Полный пример 2×2

A=(4123)A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}

Шаг 1–2. Характеристическое уравнение. Вычитаем λ\lambda с диагонали и считаем определитель:

∣4−λ123−λ∣=(4−λ)(3−λ)−2=λ2−7λ+10=0\begin{vmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0

Корни: λ1=5\lambda_1 = 5, λ2=2\lambda_2 = 2.

Шаг 3. Векторы. Для λ1=5\lambda_1 = 5: система (A−5E)v=0(A - 5E)v = 0 даёт −x+y=0-x + y = 0, то есть y=xy = x:

v1=(11)v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}

Для λ2=2\lambda_2 = 2: 2x+y=02x + y = 0, то есть y=−2xy = -2x:

v2=(1−2)v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}

Проверка: Av1=(55)=5v1A v_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} = 5 v_1 ✓ — вектор растянулся ровно в 5 раз, никуда не повернувшись.

Суть

Быстрые проверки для 2×2: сумма собственных значений равна следу матрицы (сумме диагонали), произведение — определителю. Здесь: 5+2=4+35 + 2 = 4 + 3 ✓ и 5⋅2=12−25 \cdot 2 = 12 - 2 ✓.

Типичные ошибки

Частые вопросы

Что такое собственный вектор простыми словами?

Ненулевой вектор, который после умножения на матрицу остаётся на своей прямой: A·v = λ·v. Матрица его не поворачивает, а лишь растягивает в λ раз (или сжимает, или отражает при отрицательном λ).

Почему собственный вектор определён «с точностью до множителя»?

Если v подходит, то и 2v, и −5v тоже подходят: уравнение однородно. Поэтому в ответе выбирают любой удобный представитель — обычно с целыми координатами.

Может ли собственное значение быть нулём?

Да — ровно тогда, когда матрица вырождена (det A = 0): существует ненулевой вектор, который матрица схлопывает в ноль.

Зачем всё это нужно?

Собственные векторы — «оси» преобразования: в их базисе матрица становится диагональной, а степени матриц, системы дифуров и главные компоненты в анализе данных считаются в разы проще.

Связанные темы