Векторы с нуля: координаты, длина, скалярное произведение

Векторы с нуля: стрелки, которые считаются по формулам

Вектор — это направленный отрезок, но для задач достаточно думать о нём как о наборе координат. Разбираем четыре операции, которые закрывают типовик: длина, сложение, скалярное произведение и угол.

Координаты и длина

Вектор в координатах — просто упорядоченный набор чисел: $\vec{a} = (a_1;\, a_2)$ на плоскости или $(a_1;\, a_2;\, a_3)$ в пространстве. Длина (модуль) считается по теореме Пифагора:

|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}

Пример 1: длина

\vec{a} = (3;\, 4) \quad\Rightarrow\quad |\vec{a}| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Классический «египетский» вектор — длину 3-4-5 стоит узнавать в лицо.

Сложение и умножение на число

Покоординатно, безо всяких хитростей:

\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1;\, a_2 + b_2), \qquad \lambda\vec{a} = (\lambda a_1;\, \lambda a_2)

Геометрически сложение — правило треугольника: приставил начало $\vec{b}$ к концу $\vec{a}$ , сумма — из начала первого в конец второго.

Скалярное произведение — главная операция типовика

Две формулы одного и того же:

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \qquad\text{и}\qquad \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi

Первая — как считать по координатам, вторая — что это означает. Из их равенства достаётся угол:

\cos\varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}

Правило

Экспресс-тест перпендикулярности: $\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ . Перемножил координаты, сложил, получил ноль — векторы перпендикулярны, косинусы не нужны.

Пример 2: скалярное произведение и угол

\vec{a} = (1;\, 2;\, 3), \qquad \vec{b} = (4;\, -1;\, 2)

Скалярное произведение:

\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 = 4 - 2 + 6 = 8

Длины: $|\vec{a}| = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$ , $|\vec{b}| = \sqrt{16+1+4} = \sqrt{21}$ .

Косинус угла:

\cos\varphi = \frac{8}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{21}} = \frac{8}{\sqrt{294}} \approx 0{,}47

Произведение положительное — угол острый, $\varphi \approx 62^\circ$ .

Пример 3: проверка перпендикулярности

\vec{a} = (2;\, 1), \qquad \vec{b} = (-1;\, 2) \quad\Rightarrow\quad \vec{a} \cdot \vec{b} = -2 + 2 = 0

Векторы перпендикулярны. Заметь закономерность для плоскости: поменять координаты местами и сменить один знак — готовый перпендикуляр.

Типичные ошибки

Вычесть координаты в неверном порядке при построении вектора по точкам: всегда «конец минус начало».
Забыть корень в длине: $|\vec{a}|$ — это корень из суммы квадратов, а не сама сумма.
Перемножить длины вместо скалярного произведения: $|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|$ — только часть формулы, без косинуса это не $\vec{a}\cdot\vec{b}$ .
Решить, что произведение векторов — вектор. Скалярное — число; векторное — отдельная операция со своими правилами.

Частые вопросы

Чем вектор отличается от точки?

Записи похожи, смысл разный: точка — это место, вектор — перемещение (направление и длина). Вектор можно откладывать от любой точки — он от этого не меняется.

Как найти координаты вектора по двум точкам?

Из координат конца вычесть координаты начала: для A(1; 2) и B(4; 6) вектор AB = (4−1; 6−2) = (3; 4). Порядок важен: BA будет с противоположными знаками.

Что показывает знак скалярного произведения?

Угол между векторами: положительное — угол острый, ноль — векторы перпендикулярны, отрицательное — угол тупой. Это самый быстрый тест на перпендикулярность в типовике.

Скалярное произведение — это вектор или число?

Число (скаляр — отсюда и название). Есть и векторное произведение, которое даёт вектор, — но это отдельная тема, и работает она только в трёхмерном пространстве.

Связанные темы

Умножение матриц
Все темы линала
Векторное и смешанное произведение — скоро

Идёшь по программе с нуля? Маршрут раздела «Линейная алгебра» подскажет, что учить следующим.