Асимптоты графика функции: как найти

Асимптоты: прямые, к которым прижимается график

Асимптота — прямая, к которой график подходит сколь угодно близко. Их три вида, и для каждого есть свой предел. Разбираем алгоритм и пример целиком.

Три вида и три рецепта

1. Вертикальная $x = a$ : в точке разрыва односторонний предел бесконечен:

\lim_{x \to a^{\pm}} f(x) = \pm\infty

2. Горизонтальная $y = b$ : предел функции на бесконечности конечен:

\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b

3. Наклонная $y = kx + b$ : считаются два предела —

k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}, \qquad b = \lim_{x \to \pm\infty} \big(f(x) - kx\big)

Если $k$ конечно и не ноль, а $b$ конечно — наклонная есть.

Правило

Порядок поиска: сначала вертикальные (точки разрыва), потом смотрим на бесконечность — если предел конечен, горизонтальная; если бесконечен, проверяем наклонную через $k$ и $b$ .

Полный разбор примера

Пример

f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}

Вертикальная. Знаменатель зануляется при $x = 1$ , числитель там равен 2:

\lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^2+1}{x-1} = +\infty \quad\Rightarrow\quad x = 1 \text{ — вертикальная асимптота}

Горизонтальная. Степень числителя выше — предел на бесконечности бесконечен, горизонтальной нет. Проверяем наклонную.

Наклонная.

k = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{x(x-1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{x^2-x} = 1

b = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^2+1}{x-1} - x\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1 - x^2 + x}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x-1} = 1

Ответ: вертикальная $x = 1$ и наклонная $y = x + 1$ .

Типичные ошибки

Объявить вертикальной асимптотой любой ноль знаменателя. Если он сокращается с числителем — это «дырка», а не асимптота.
Искать наклонную при конечном пределе — там уже есть горизонтальная, наклонной не будет.
Посчитать $k$ и забыть про $b$ : без второго предела прямая не определена; если $b$ бесконечно — наклонной нет.
Проверить только $+\infty$ . Слева и справа асимптоты могут быть разными — у экспоненты, например.

Частые вопросы

Где искать вертикальные асимптоты?

В точках разрыва — обычно это нули знаменателя, не совпадающие с нулями числителя. Проверка: односторонний предел в точке должен уходить в бесконечность.

Может ли у функции быть и горизонтальная, и наклонная асимптота с одной стороны?

Нет: на каждом направлении (x → +∞ и x → −∞) — либо горизонтальная, либо наклонная, либо никакой. Горизонтальная — это частный случай наклонной с k = 0.

Может ли график пересекать свою асимптоту?

Вертикальную — никогда. Горизонтальную и наклонную — сколько угодно раз: важно только поведение на бесконечности, а не по дороге.

У каких функций асимптот нет вообще?

У многочленов: они непрерывны (нет вертикальных) и растут быстрее любой прямой (нет наклонных). Если в задаче многочлен — пункт про асимптоты закрывается одной строчкой.