Не ботай

Асимптоты: прямые, к которым прижимается график

Асимптота — прямая, к которой график подходит сколь угодно близко. Их три вида, и для каждого есть свой предел. Разбираем алгоритм и пример целиком.

Три вида и три рецепта

1. Вертикальная x=ax = a: в точке разрыва односторонний предел бесконечен:

lim⁡x→a±f(x)=±∞\lim_{x \to a^{\pm}} f(x) = \pm\infty

2. Горизонтальная y=by = b: предел функции на бесконечности конечен:

lim⁡x→±∞f(x)=b\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b

3. Наклонная y=kx+by = kx + b: считаются два предела —

k=lim⁡x→±∞f(x)x,b=lim⁡x→±∞(f(x)−kx)k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}, \qquad b = \lim_{x \to \pm\infty} \big(f(x) - kx\big)

Если kk конечно и не ноль, а bb конечно — наклонная есть.

Правило

Порядок поиска: сначала вертикальные (точки разрыва), потом смотрим на бесконечность — если предел конечен, горизонтальная; если бесконечен, проверяем наклонную через kk и bb.

Полный разбор примера

Пример

f(x)=x2+1x−1f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}

Вертикальная. Знаменатель зануляется при x=1x = 1, числитель там равен 2:

lim⁡x→1+x2+1x−1=+∞⇒x=1 — вертикальная асимптота\lim_{x \to 1^{+}} \frac{x^2+1}{x-1} = +\infty \quad\Rightarrow\quad x = 1 \text{ — вертикальная асимптота}

Горизонтальная. Степень числителя выше — предел на бесконечности бесконечен, горизонтальной нет. Проверяем наклонную.

Наклонная.

k=lim⁡x→∞x2+1x(x−1)=lim⁡x→∞x2+1x2−x=1k = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{x(x-1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{x^2-x} = 1b=lim⁡x→∞(x2+1x−1−x)=lim⁡x→∞x2+1−x2+xx−1=lim⁡x→∞x+1x−1=1b = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^2+1}{x-1} - x\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1 - x^2 + x}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x-1} = 1

Ответ: вертикальная x=1x = 1 и наклонная y=x+1y = x + 1.

Типичные ошибки

Частые вопросы

Где искать вертикальные асимптоты?

В точках разрыва — обычно это нули знаменателя, не совпадающие с нулями числителя. Проверка: односторонний предел в точке должен уходить в бесконечность.

Может ли у функции быть и горизонтальная, и наклонная асимптота с одной стороны?

Нет: на каждом направлении (x → +∞ и x → −∞) — либо горизонтальная, либо наклонная, либо никакой. Горизонтальная — это частный случай наклонной с k = 0.

Может ли график пересекать свою асимптоту?

Вертикальную — никогда. Горизонтальную и наклонную — сколько угодно раз: важно только поведение на бесконечности, а не по дороге.

У каких функций асимптот нет вообще?

У многочленов: они непрерывны (нет вертикальных) и растут быстрее любой прямой (нет наклонных). Если в задаче многочлен — пункт про асимптоты закрывается одной строчкой.

Связанные темы

Идёшь по программе с нуля? Маршрут раздела «Матанализ» подскажет, что учить следующим.