Не ботай

Действия с комплексными числами: четыре операции без паники

Складывать — как векторы, умножать — как скобки, делить — через сопряжённое, возводить в степень — через Муавра. Разбираем все четыре операции на числах.

Сложение и вычитание: по частям

Действительное с действительным, мнимое с мнимым — как векторы по координатам:

(3+2i)+(1−5i)=4−3i(3 + 2i) + (1 - 5i) = 4 - 3i

Умножение: раскрываем скобки

Обычное раскрытие скобок плюс правило i2=−1i^2 = -1:

Пример

(3+2i)(1−5i)=3−15i+2i−10i2=3−13i+10=13−13i(3 + 2i)(1 - 5i) = 3 - 15i + 2i - 10i^2 = 3 - 13i + 10 = 13 - 13i

Слагаемое −10i2-10i^2 превратилось в +10+10 — здесь теряют знак чаще всего.

Деление: домножаем на сопряжённое

Чтобы избавиться от ii в знаменателе, умножаем дробь на сопряжённое знаменателя:

Пример

3+2i1−5i=(3+2i)(1+5i)(1−5i)(1+5i)=3+15i+2i+10i21+25=−7+17i26=−726+1726i\frac{3 + 2i}{1 - 5i} = \frac{(3+2i)(1+5i)}{(1-5i)(1+5i)} = \frac{3 + 15i + 2i + 10i^2}{1 + 25} = \frac{-7 + 17i}{26} = -\frac{7}{26} + \frac{17}{26}i

Знаменатель стал действительным: (1−5i)(1+5i)=12+52=26(1-5i)(1+5i) = 1^2 + 5^2 = 26 — разность квадратов, где −(5i)2=+25-(5i)^2 = +25.

Степень: формула Муавра

В тригонометрической форме модуль возводится в степень, аргумент умножается:

[r(cos⁡φ+isin⁡φ)]n=rn(cos⁡nφ+isin⁡nφ)\left[r(\cos\varphi + i\sin\varphi)\right]^n = r^n\big(\cos n\varphi + i\sin n\varphi\big)

Пример

(1+i)10:r=2,  φ=π4  ⇒  (2)10(cos⁡10π4+isin⁡10π4)=32(0+i)=32i(1+i)^{10}:\quad r = \sqrt{2},\; \varphi = \frac{\pi}{4} \;\Rightarrow\; (\sqrt{2})^{10}\left(\cos\frac{10\pi}{4} + i\sin\frac{10\pi}{4}\right) = 32\left(0 + i\right) = 32i

Раскрывать скобки десять раз — самоистязание; Муавр делает это в одну строку.

Суть

Шпаргалка выбора: сложение/вычитание — алгебраическая форма; умножение — любая; деление — алгебраическая с сопряжённым; степени и корни — только тригонометрическая/показательная.

Типичные ошибки

Частые вопросы

Что такое сопряжённое число и зачем оно нужно?

Это то же число с противоположным знаком мнимой части: для 3+2i сопряжённое 3−2i. Их произведение всегда действительно (a²+b²), поэтому сопряжённым «чистят» знаменатель при делении.

Как возводить i в большие степени?

Степени i зацикливаются с периодом 4: i¹=i, i²=−1, i³=−i, i⁴=1. Дели показатель на 4 и смотри остаток: i²⁰²⁷ = i³ = −i, потому что 2027 = 4·506 + 3.

В какой форме удобнее умножать и делить?

Для одиночного умножения хватает алгебраической. Но если чисел много или нужна степень — переходи в тригонометрическую/показательную: там модули перемножаются, а аргументы складываются.

Можно ли сравнивать комплексные числа: какое больше?

Нет, порядок «больше/меньше» на комплексных числах не вводится. Сравнивать можно только модули — расстояния до нуля.

Связанные темы

Идёшь по программе с нуля? Маршрут раздела «Матанализ» подскажет, что учить следующим.