Метод замены переменной в интеграле: как увидеть замену — с примерами

Замена переменной: главный приём интегрирования

Восемь из десяти интегралов в типовике решаются подстановкой. Весь навык — научиться видеть пару «функция и её производная стоят рядом».

Идея метода

Если под интегралом стоит сложная функция, а рядом — производная её внутренности, замена $t =$ внутренность превращает интеграл в табличный:

\int f\big(g(x)\big)\, g'(x)\,dx \;=\; \int f(t)\,dt, \qquad t = g(x)

Суть

Порядок действий: 1) выбрать $t$ ; 2) посчитать $dt$ и выразить через него всё, что осталось под интегралом; 3) взять табличный интеграл по $t$ ; 4) вернуть $x$ обратно.

Три примера по нарастающей

Пример 1: экспонента с квадратом

\int x\,e^{x^2}\,dx

Внутренность — $x^2$ , её производная $2x$ почти стоит рядом. Замена $t = x^2$ , тогда $dt = 2x\,dx$ , то есть $x\,dx = \tfrac{dt}{2}$ :

\int e^{t}\,\frac{dt}{2} = \frac{1}{2}e^{t} + C = \frac{1}{2}e^{x^2} + C

Проверка:

\left(\tfrac{1}{2}e^{x^2}\right)' = \tfrac{1}{2}e^{x^2} \cdot 2x = x e^{x^2}

Сошлось.

Пример 2: дробь с логарифмом в ответе

\int \frac{x\,dx}{x^2 + 1}

Замена $t = x^2 + 1$ , $dt = 2x\,dx$ :

\int \frac{dt/2}{t} = \frac{1}{2}\ln|t| + C = \frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right) + C

Общий шаблон: числитель — производная знаменателя (с точностью до множителя) → в ответе логарифм знаменателя.

Пример 3: тригонометрия

\int \sin^3 x \cos x\,dx

Рядом с $\sin^3 x$ стоит $\cos x\,dx$ — производная синуса. Замена $t = \sin x$ , $dt = \cos x\,dx$ :

\int t^3\,dt = \frac{t^4}{4} + C = \frac{\sin^4 x}{4} + C

Типичные ошибки

Оставить $dx$ без пересчёта. После замены под интегралом не должно остаться ни одного $x$ — вообще ни одного.
Потерять множитель из $dt$ : $dt = 2x\,dx$ означает деление на 2, а не «само рассосётся».
Забыть вернуться к $x$ в ответе неопределённого интеграла.
Выбрать замену без производной рядом: $t = x^2$ в $\int e^{x^2}dx$ ничего не даёт — этот интеграл вообще не берётся в элементарных функциях.

Частые вопросы

Как понять, что взять за t?

Ищи «внутреннюю» функцию, производная которой стоит множителем под интегралом (хотя бы с точностью до константы). Видишь x² и рядом x·dx — бери t = x². Видишь sin x и рядом cos x·dx — бери t = sin x.

Что делать с dx при замене?

Продифференцировать замену: если t = x², то dt = 2x·dx, откуда x·dx = dt/2. Забыть пересчитать dx — ошибка №1 в этой теме: старую переменную под интегралом оставлять нельзя.

Нужно ли возвращаться к x в ответе?

В неопределённом интеграле — обязательно: ответ должен быть функцией исходной переменной. Подставь обратно t = (твоя замена). В определённом интеграле можно не возвращаться, если пересчитал пределы интегрирования.

Чем замена отличается от интегрирования по частям?

Замена работает, когда производная внутренней функции уже стоит под интегралом. По частям — когда перемножены две «независимые» функции вроде x·eˣ. Проверяй сначала замену: она проще.