Производная сложной функции: правило цепочки на примерах — от простых до матрёшки

Производная сложной функции: раскручиваем матрёшку

Правило цепочки — самое используемое правило дифференцирования: без него не взять даже (2x+1)⁵. Учимся видеть «матрёшку» из функций и раскручивать её снаружи внутрь.

Правило цепочки

Если функция — «матрёшка» $f(g(x))$ , её производная равна произведению производных всех слоёв:

\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Суть

Словами: продифференцируй внешнюю функцию, не трогая внутренность, и умножь на производную внутренности. Слоёв больше двух — продолжай умножать, пока не дойдёшь до ядра.

Четыре примера по нарастающей

Пример 1: степень от скобки

\left((2x+1)^5\right)' = 5(2x+1)^4 \cdot (2x+1)' = 5(2x+1)^4 \cdot 2 = 10(2x+1)^4

Внешняя — пятая степень, внутренняя — $2x+1$ . Раскрывать скобки в пятой степени не нужно никогда.

Пример 2: экспонента

\left(e^{3x}\right)' = e^{3x} \cdot (3x)' = 3e^{3x}

Экспонента при дифференцировании копирует саму себя и выплёвывает производную показателя множителем.

Пример 3: логарифм от косинуса

\big(\ln(\cos x)\big)' = \frac{1}{\cos x} \cdot (\cos x)' = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\operatorname{tg} x

Два слоя: производная логарифма — единица на внутренность, затем производная косинуса с её минусом.

Пример 4: матрёшка из трёх слоёв

\left(\sin^3(2x)\right)'

Слои снаружи внутрь: куб → синус → $2x$ . Дифференцируем по очереди:

3\sin^2(2x) \cdot \cos(2x) \cdot 2 = 6\sin^2(2x)\cos(2x)

Три слоя — три множителя. Число множителей всегда равно числу слоёв матрёшки.

Типичные ошибки

Забыть внутреннюю производную: $(\sin(x^2))' \ne \cos(x^2)$ . Множитель $2x$ обязателен.
Продифференцировать внутренность внутри внешней: $\left((2x+1)^5\right)' \ne 5 \cdot 2^4$ . Внутренность в первом множителе остаётся нетронутой.
Остановиться на полпути в многослойной матрёшке — множителей должно быть столько же, сколько слоёв.
Путать $\sin^2 x$ и $\sin(x^2)$ : в первом случае внешний слой — квадрат, во втором — синус. Порядок слоёв меняет весь ответ.

Частые вопросы

Как понять, что функция сложная?

Посчитай, сколько действий нужно, чтобы вычислить её в точке. sin x — одно действие. sin(x²) — два: сначала квадрат, потом синус. Больше одного действия — функция сложная, нужна цепочка.

В каком порядке дифференцировать вложенные функции?

Снаружи внутрь: берёшь производную самой внешней функции (внутренность не трогаешь), умножаешь на производную следующей, и так до самого ядра матрёшки.

Когда цепочка заканчивается?

Когда дошёл до самой внутренней функции и взял её производную. Если внутри просто x, последний множитель равен 1 и его можно не писать.

Почему (sin(x²))' не равно cos(x²)?

Потому что потерян множитель — производная внутренней функции. Правильно: cos(x²)·2x. Забытая внутренняя производная — ошибка №1 всего первого курса.