Не ботай

Комбинаторика: три формулы и два вопроса

Все задачи «сколькими способами» решаются тремя формулами. Выбор между ними — два вопроса: важен ли порядок и берём ли всех. Отвечаешь — формула выбирается сама.

Три формулы

Перестановки — расставляем всех nn по местам, порядок важен:

Pn=n!P_n = n!

Размещения — выбираем kk из nn, порядок важен:

Ank=n!(n−k)!A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}

Сочетания — выбираем kk из nn, порядок не важен:

Cnk=n!k! (n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

Суть

Два вопроса выбора: «Берём всех?» — да → перестановки. Нет → «Порядок важен?» — да → размещения, нет → сочетания. Сочетания меньше размещений ровно в k!k! раз: убираем порядок.

Примеры на каждую формулу

Перестановки

Сколькими способами 5 человек могут встать в очередь?

P5=5!=120P_5 = 5! = 120

Размещения

Из 10 спортсменов выбирают золото, серебро и бронзу. Порядок важен (медали разные):

A103=10!7!=10⋅9⋅8=720A_{10}^{3} = \frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720

Сочетания

Из 10 студентов выбирают троих дежурных. Роли одинаковые, порядок не важен:

C103=10!3!⋅7!=7206=120C_{10}^{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{720}{6} = 120

В шесть раз меньше, чем медалей: каждую тройку можно упорядочить 3!=63! = 6 способами, а мы эти способы склеили.

Типичные ошибки

Частые вопросы

Как быстро выбрать между размещением и сочетанием?

Один вопрос: важен ли порядок выбранных? Капитан и вратарь — разные роли, порядок важен, размещения. Просто трое дежурных — порядок не важен, сочетания.

Что такое факториал и чему равен 0!?

n! — произведение чисел от 1 до n: 5! = 120. По определению 0! = 1 — это соглашение, без которого формулы ломаются на краях.

Когда используется правило произведения?

Когда выбор многоступенчатый и независимый: 3 рубашки и 4 пары штанов дают 3·4 = 12 комплектов. Умножаем количество вариантов на каждом шаге.

Зачем комбинаторика в теории вероятностей?

Классическая вероятность — это m/n, а когда исходов слишком много для пересчёта вручную, m и n считаются комбинаторными формулами.

Связанные темы