Интегрирование рациональных дробей по шагам

Q: Что делать, если степень числителя не меньше степени знаменателя?

Сначала разделить многочлены уголком и выделить целую часть. На простейшие дроби раскладывается только правильная дробь — у которой степень числителя строго меньше.

Q: Как быстро найти коэффициенты A и B?

Подставить в тождество корни знаменателя: при каждом корне обнуляется всё, кроме одного слагаемого, и коэффициент находится за одну строчку. Это быстрее, чем раскрывать скобки и приравнивать коэффициенты при степенях.

Q: А если знаменатель не раскладывается на линейные множители?

Неразложимый квадратный трёхчлен (дискриминант меньше нуля) даёт простейшую дробь третьего типа — она интегрируется через выделение полного квадрата в логарифм и арктангенс.

Q: Почему в ответе модули под логарифмами?

Потому что ∫dx/x = ln|x| + C: логарифм определён только для положительных чисел, а первообразная нужна на всей области определения дроби. Без модуля ответ засчитают неполным.

Интегрирование рациональных дробей: развалить и победить

Страшная дробь с многочленами разваливается на простейшие кусочки, каждый из которых интегрируется одной строчкой таблицы. Разбираем весь конвейер на примере.

План победы

Рациональная дробь — это отношение двух многочленов. Интегрируется она всегда, и всегда одним конвейером:

Дробь неправильная (степень числителя ≥ степени знаменателя)? Делим уголком, выделяем целую часть.
Раскладываем знаменатель на множители.
Разваливаем дробь на простейшие с неизвестными коэффициентами $A, B, \dots$
Находим коэффициенты и интегрируем каждый кусочек по таблице.

Суть

Простейшая дробь вида $\dfrac{A}{x-a}$ интегрируется мгновенно: $\displaystyle\int \frac{A}{x-a}\,dx = A\ln|x-a| + C$ . Весь метод — свести страшное к этой строчке.

Полный разбор примера

Пример

\int \frac{x+5}{x^2 - x - 2}\,dx

Шаг 1. Дробь правильная: степень числителя 1, знаменателя 2. Целую часть выделять не надо.

Шаг 2. Раскладываем знаменатель. Корни $x^2 - x - 2 = 0$ : это $x = 2$ и $x = -1$ , значит:

x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)

Шаг 3. Разваливаем на простейшие:

\frac{x+5}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}

Приводим правую часть к общему знаменателю и приравниваем числители:

x + 5 = A(x+1) + B(x-2)

Шаг 4. Находим коэффициенты подстановкой корней. При $x = 2$ : $7 = 3A \Rightarrow A = \tfrac{7}{3}$ . При $x = -1$ : $4 = -3B \Rightarrow B = -\tfrac{4}{3}$ .

Шаг 5. Интегрируем по таблице:

\int \frac{x+5}{x^2-x-2}\,dx = \frac{7}{3}\int\frac{dx}{x-2} - \frac{4}{3}\int\frac{dx}{x+1} = \frac{7}{3}\ln|x-2| - \frac{4}{3}\ln|x+1| + C

Проверка (дифференцируем ответ):

\frac{7/3}{x-2} - \frac{4/3}{x+1} = \frac{\tfrac{7}{3}(x+1) - \tfrac{4}{3}(x-2)}{(x-2)(x+1)} = \frac{x+5}{x^2-x-2}

— исходная дробь, всё верно.

Какие бывают простейшие дроби

Тип	Вид	Во что интегрируется
I	$\dfrac{A}{x-a}$	$A\ln\lvert x-a\rvert$
II	$\dfrac{A}{(x-a)^n}$	степенная формула, без логарифма
III	$\dfrac{Mx+N}{x^2+px+q}$ , $D<0$	логарифм + арктангенс

Кратный корень $(x-a)^2$ даёт две дроби: $\tfrac{A}{x-a} + \tfrac{B}{(x-a)^2}$ — об этом забывают чаще всего.

Типичные ошибки

Не выделить целую часть у неправильной дроби — разложение просто не сойдётся.
Потерять дробь у кратного корня: для $(x-a)^2$ нужны оба слагаемых, $A/(x-a)$ и $B/(x-a)^2$ .
Забыть модули под логарифмами в ответе.
Не проверить разложение. Подставь любое «нейтральное» $x$ (например, 0) в обе части тождества — числа должны совпасть.

Частые вопросы

Что делать, если степень числителя не меньше степени знаменателя?

Сначала разделить многочлены уголком и выделить целую часть. На простейшие дроби раскладывается только правильная дробь — у которой степень числителя строго меньше.

Как быстро найти коэффициенты A и B?