Функция распределения F(x): как построить и не запутаться

Q: Почему F всегда растёт от 0 до 1?

F(x) копит вероятности слева направо: левее самого маленького значения не лежит ничего (F = 0), правее самого большого — всё (F = 1). Убывать функция не может — вероятности не бывают отрицательными.

Q: В чём разница между P(X < x) и P(X ≤ x)?

В том, входит ли сама точка x. В русской традиции F(x) = P(X < x) — строгое неравенство, и скачок лесенки происходит В точке значения. В зарубежных учебниках чаще P(X ≤ x). Смотри определение своей методички — от него зависит, где ставить «закрашенный кружок» на графике.

Q: Зачем нужна F, если есть ряд распределения?

Ряд отвечает про отдельные значения, F — про диапазоны: P(a ≤ X < b) = F(b) − F(a) считается одним вычитанием. А для непрерывных величин ряда вообще нет — там F и плотность единственный язык.

Q: Чему равен скачок лесенки в точке?

Ровно вероятности этого значения: высота ступеньки в точке xᵢ равна pᵢ. Сумма всех скачков — единица. Это удобная самопроверка построенного графика.

Функция распределения: накопительный счёт вероятностей

F(x) отвечает на один вопрос: какова вероятность, что величина окажется ЛЕВЕЕ точки x. Для дискретной величины это лесенка, которая растёт от 0 до 1 — учимся её строить без ошибок.

Определение

F(x) = P(X < x)

— вероятность, что случайная величина примет значение левее точки $x$ . Свойства: $F$ не убывает, $F(-\infty) = 0$ , $F(+\infty) = 1$ .

Полный разбор: строим F(x) по ряду распределения

Ряд распределения из разбора про случайную величину (две монеты, $X$ — число орлов):

$X$	0	1	2
$P$	$\tfrac{1}{4}$	$\tfrac{1}{2}$	$\tfrac{1}{4}$

Идём слева направо и копим вероятности:

$x \le 0$ : левее $x$ нет ни одного значения — $F(x) = 0$ ;
$0 < x \le 1$ : левее лежит только $X = 0$ — $F(x) = \tfrac{1}{4}$ ;
$1 < x \le 2$ : накопились $X = 0$ и $X = 1$ — $F(x) = \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{4}$ ;
$x > 2$ : всё левее — $F(x) = 1$ .

F(x) = \begin{cases} 0, & x \le 0 \\ 1/4, & 0 < x \le 1 \\ 3/4, & 1 < x \le 2 \\ 1, & x > 2 \end{cases}

Проверка: скачки $\tfrac{1}{4}$ , $\tfrac{1}{2}$ , $\tfrac{1}{4}$ — в точности вероятности ряда, в сумме 1 ✓.

Как F работает на диапазонах

P(a \le X < b) = F(b) - F(a)

Для нашего примера: $P(1 \le X < 3) = F(3) - F(1) = 1 - \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}$ — и правда, «один или два орла» — это $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4}$ .

Правило

Алгоритм: упорядочить значения → идти слева направо, прибавляя вероятности → записать кусочную функцию, где интервалов на один больше, чем значений → проверить, что скачки равны вероятностям и последняя ступенька равна 1.

Типичные ошибки

Начать не с нуля или не дойти до единицы — у F жёсткие края: 0 слева, 1 справа.
Перепутать строгое и нестрогое неравенство на границах интервалов — сверься с определением в своей методичке.
Записать вероятности вместо накопленных сумм — F копит, а не повторяет ряд.
Потерять интервал: у величины с тремя значениями в F четыре строки-случая, не три.

Частые вопросы

Почему F всегда растёт от 0 до 1?

F(x) копит вероятности слева направо: левее самого маленького значения не лежит ничего (F = 0), правее самого большого — всё (F = 1). Убывать функция не может — вероятности не бывают отрицательными.

В чём разница между P(X < x) и P(X ≤ x)?

В том, входит ли сама точка x. В русской традиции F(x) = P(X < x) — строгое неравенство, и скачок лесенки происходит В точке значения. В зарубежных учебниках чаще P(X ≤ x). Смотри определение своей методички — от него зависит, где ставить «закрашенный кружок» на графике.

Зачем нужна F, если есть ряд распределения?