Корни из комплексных чисел: формула и примеры (все n корней)

Корни из комплексных чисел: у восьмёрки их три

В комплексных числах у корня n-й степени всегда ровно n значений, и лежат они красиво — вершинами правильного многоугольника. Учимся находить все, а не только очевидный.

Формула

Для числа $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ все корни $n$ -й степени:

\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right), \qquad k = 0, 1, \dots, n-1

Модуль — арифметический корень из модуля; аргумент — делим на $n$ , добавляя по обороту $2\pi$ для каждого следующего корня.

Пример 1: кубические корни из 8

Число $8$ в тригонометрической форме: $r = 8$ , $\varphi = 0$ . Модуль корней: $\sqrt[3]{8} = 2$ . Углы: $\frac{0 + 2\pi k}{3}$ при $k = 0, 1, 2$ — это $0$ , $\tfrac{2\pi}{3}$ , $\tfrac{4\pi}{3}$ .

z_0 = 2, \qquad z_1 = 2\left(-\tfrac{1}{2} + i\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -1 + i\sqrt{3}, \qquad z_2 = -1 - i\sqrt{3}

Проверка: $z_1^3 = 8$ ? Модуль: $2^3 = 8$ ✓, аргумент: $3 \cdot \tfrac{2\pi}{3} = 2\pi \equiv 0$ ✓. Три корня — правильный треугольник на окружности радиуса 2.

Пример 2: квадратные корни из i

Число $i$ : модуль $r = 1$ , аргумент $\varphi = \tfrac{\pi}{2}$ . Модуль корней $\sqrt{1} = 1$ , углы $\tfrac{\pi/2 + 2\pi k}{2}$ при $k = 0, 1$ : $\tfrac{\pi}{4}$ и $\tfrac{5\pi}{4}$ .

z_0 = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i), \qquad z_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i)

Проверка: $z_0^2 = \tfrac{2}{4}(1+i)^2 = \tfrac{1}{2}(1 + 2i - 1) = i$ ✓.

Правило

Алгоритм: перевести в тригонометрическую форму → корень из модуля → углы $\frac{\varphi + 2\pi k}{n}$ для $k$ от $0$ до $n-1$ → при необходимости вернуть в алгебраическую. И нарисуй корни на окружности — несимметричная картинка выдаёт ошибку мгновенно.

Типичные ошибки

Найти один корень и остановиться — задача требует все $n$ ; «лишние» корни и есть суть темы.
Забыть $2\pi k$ — тогда все корни совпадут с первым.
Взять $k$ до $n$ включительно — корень при $k = n$ повторяет $k = 0$ : значений ровно $n$ .
Извлекать корень из алгебраической формы напрямую — сначала модуль и аргумент, иначе формула неприменима.

Частые вопросы

Почему корней ровно n, а не один?

Аргумент комплексного числа определён с точностью до полного оборота 2π. При делении угла на n эти обороты дают n разных направлений — n корней. При k = n углы начинают повторяться.

Как корни расположены геометрически?

Все на окружности радиуса ⁿ√r, с равными углами 2π/n между соседними — вершины правильного n-угольника. Это отличная самопроверка: нашёл корни — проверь, что они образуют симметричную звезду.

Можно ли извлечь корень из отрицательного числа?

Да — в этом и была историческая причина придумать комплексные числа. Например, √(−4) = ±2i: отрицательное число — это комплексное с аргументом π, формула работает как обычно.

В какой форме должно быть число перед извлечением корня?

В тригонометрической или показательной: нужны модуль и аргумент. Алгебраическую a + bi сначала переведи — это первый шаг любого решения.

Корни из комплексных чисел: у восьмёрки их три

Формула

Типичные ошибки

Частые вопросы

Связанные темы