Определённый интеграл: формула Ньютона—Лейбница и площадь под графиком

Определённый интеграл: считаем площадь по формуле

Определённый интеграл — это число: площадь под графиком от a до b. Считается он через обычную первообразную по формуле Ньютона—Лейбница — разбираем на примерах.

Формула Ньютона—Лейбница

Вся тема держится на одной формуле: найди первообразную и подставь пределы.

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a), \qquad F'(x) = f(x)

Геометрический смысл: если $f(x) \ge 0$ на отрезке, интеграл равен площади фигуры между графиком, осью $x$ и вертикалями $x=a$ , $x=b$ .

Суть

Порядок вычисления всегда один: первообразная по таблице → подстановка верхнего предела → минус подстановка нижнего. Записывается это двойной подстановкой: $F(x)\big|_a^b$ .

Примеры

Пример 1: парабола

\int_0^1 x^2\,dx = \frac{x^3}{3}\bigg|_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}

Площадь под параболой от 0 до 1 — ровно треть квадрата 1×1. Красивый факт, который знали ещё до Ньютона.

Пример 2: синус на полупериоде

\int_0^{\pi} \sin x\,dx = -\cos x\bigg|_0^{\pi} = -\cos\pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2

Площадь под одной аркой синусоиды равна ровно 2 — любимый ответ экзаменаторов.

Свойства, которые экономят время

Линейность: константа выносится, интеграл суммы — сумма интегралов.
Аддитивность: $\int_a^b = \int_a^c + \int_c^b$ — отрезок можно резать на части (нужно, когда функция задана кусочно или меняет знак).
Перестановка пределов меняет знак: $\int_b^a = -\int_a^b$ .
Симметрия: интеграл нечётной функции по симметричному отрезку $[-a; a]$ равен нулю — часто убивает половину задачи.

Типичные ошибки

Подставить пределы в подынтегральную функцию вместо первообразной.
Перепутать порядок: сначала верхний предел, потом минус нижний — не наоборот.
Потерять минус при подстановке в первообразную с минусом (классика с $-\cos x$ ).
Написать +C в определённом интеграле — она уже сократилась.

Частые вопросы

Чем определённый интеграл отличается от неопределённого?

Неопределённый — это семейство функций (первообразные + C). Определённый — конкретное число: приращение первообразной между пределами интегрирования, геометрически — площадь под графиком.

Куда девается +C в определённом интеграле?

Сокращается: F(b)+C − (F(a)+C) = F(b) − F(a). Поэтому в определённом интеграле константу не пишут вообще.

Может ли определённый интеграл быть отрицательным?

Да: там, где график ниже оси x, интеграл считает площадь со знаком минус. Если нужна именно геометрическая площадь, участки ниже оси берут по модулю.

Что будет, если поменять местами пределы интегрирования?

Знак ответа сменится на противоположный: интеграл от b до a равен минус интегралу от a до b. Это свойство, а не ошибка — но перепутанные пределы в задаче дают неверный знак.