Правило Лопиталя: когда можно применять и как решать примеры

Правило Лопиталя: тяжёлая артиллерия для пределов

Неопределённость 0/0 или ∞/∞ можно пробить производными: предел отношения функций равен пределу отношения их производных. Главное — знать три условия и не стрелять из пушки по воробьям.

Само правило

Если $\lim \tfrac{f(x)}{g(x)}$ даёт $\tfrac{0}{0}$ или $\tfrac{\infty}{\infty}$ , обе функции дифференцируемы возле точки, и предел отношения производных существует, то:

\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}

Осторожно

Дифференцируются числитель и знаменатель по отдельности. Это НЕ производная частного — никакой формулы $\tfrac{u'v - uv'}{v^2}$ здесь нет.

Примеры

Пример 1: классика 0/0

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \frac{0}{0} \;\xrightarrow{\text{Лопиталь}}\; \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1

Пример 2: ∞/∞ — логарифм против степени

\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \frac{\infty}{\infty} \;\xrightarrow{\text{Лопиталь}}\; \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 0

Мораль, которую стоит запомнить: логарифм растёт медленнее любой степени, а любая степень — медленнее экспоненты.

Пример 3: правило дважды

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{0}{0} \;\xrightarrow{\text{Лопиталь}}\; \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} = \frac{0}{0} \;\xrightarrow{\text{Лопиталь}}\; \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{1}{2}

После каждого шага проверяем неопределённость заново — и останавливаемся, как только её нет.

Типичные ошибки

Применить правило без неопределённости — главный грех: сначала подстановка, потом Лопиталь.
Продифференцировать как частное вместо «числитель и знаменатель отдельно».
Не остановиться вовремя: дифференцировать, когда неопределённости уже нет, — ответ уедет.
Зациклиться. Для некоторых пределов (например, $\tfrac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ при $x \to \infty$ ) Лопиталь ходит по кругу — тогда нужен алгебраический приём.

Частые вопросы

К каким неопределённостям применимо правило Лопиталя?

Напрямую — только к 0/0 и ∞/∞. Остальные (0·∞, ∞−∞, 1^∞) сначала алгебраически приводятся к дроби, и только потом применяется правило.

Можно ли применять правило несколько раз подряд?

Да, если после первого применения неопределённость сохранилась. Каждый раз проверяй: всё ещё 0/0 или ∞/∞? Если нет — дальше дифференцировать нельзя, подставляй точку.

Почему нельзя применять Лопиталя к sin x/x при x → ∞?

Потому что там нет неопределённости: синус ограничен, знаменатель бесконечен, предел равен нулю. А производные дадут cos x/1 — предел, которого вообще не существует. Правило применимо только при выполнении его условий.

Лопиталь или замечательные пределы — что выбирать?

Если производные уже пройдены и преподаватель разрешает — Лопиталь обычно быстрее. Но на первых коллоквиумах пределы часто спрашивают до производных, и тогда алгебраические приёмы обязательны.