Первый замечательный предел: формула, следствия и примеры

Первый замечательный предел: sin x на x

Одна формула, которую спрашивают на каждом коллоквиуме, и один трюк с достройкой аргумента, который решает все задачи на неё.

Формула и её смысл

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

Смысл простой: при малых углах синус ведёт себя как сам угол. Поэтому их отношение прижимается к единице. Отсюда же полезные следствия:

\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}

Правило

Рабочее правило: увидел в пределе синус (тангенс, арксинус) от чего-то маленького — приведи дробь к виду $\tfrac{\sin(\square)}{\square}$ с одинаковым $\square$ и замени эту конструкцию на 1.

Пример с достройкой

Пример 1

\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{\sin 3x} = \frac{0}{0}

Достраиваем каждый синус до «своей» конструкции:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{7x} \cdot \frac{3x}{\sin 3x} \cdot \frac{7x}{3x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{7}{3} = \frac{7}{3}

Ответ — просто отношение коэффициентов. Это общее правило для $\tfrac{\sin ax}{\sin bx}$ .

Пример 2: следствие с косинусом

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}

Используем формулу $1 - \cos x = 2\sin^2 \tfrac{x}{2}$ :

\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{4 \cdot \frac{x^2}{4}} = \frac{2}{4}\left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^{2} = \frac{1}{2}

Типичные ошибки

Применить формулу при $x \to \infty$ : там $\tfrac{\sin x}{x} \to 0$ , а не 1.
Достроить аргумент и забыть компенсацию. Дописал $7x$ в знаменатель — умножь снаружи на $7x$ /(старый знаменатель).
«Сократить» синус: $\tfrac{\sin 7x}{\sin 3x} \neq \tfrac{7x}{3x}$ до предела — равенство появляется только в пределе.
Градусы вместо радиан — формула теряет силу, появляется $\pi/180$ .

Частые вопросы

Почему предел sin x/x равен именно 1?

При малых углах синус почти неотличим от самого угла: sin 0,01 ≈ 0,0099998. Чем меньше x, тем ближе отношение к единице. Строго это доказывается через сравнение площадей секторов и треугольников на единичной окружности.

Работает ли формула, если x стремится не к нулю?

Нет. При x → ∞ предел sin x/x равен нулю: синус ограничен, а знаменатель растёт. Первый замечательный предел — строго про стремление аргумента к нулю.

Что делать, если под синусом стоит не x, а 5x или x²?

Достроить: под синусом и в знаменателе должно стоять одно и то же выражение, стремящееся к нулю. Дописываешь нужный аргумент в знаменатель и компенсируешь множителем снаружи.

Обязательно ли x в радианах?

Да. Формула верна только для радиан. Если аргумент в градусах, появится множитель π/180 — классическая ловушка на контрольной.