Второй замечательный предел: число e и неопределённость 1^∞

Второй замечательный предел: откуда берётся e

Единица в степени бесконечность — неопределённость, за которой почти всегда прячется число e. Учимся приводить любые такие пределы к канонической формуле.

Формула в двух видах

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e \qquad\Longleftrightarrow\qquad \lim_{\alpha \to 0} \left(1 + \alpha\right)^{1/\alpha} = e

Обе записи об одном: «единица плюс маленькое» в степени «единица на это маленькое» даёт $e$ .

Суть

Алгоритм всегда один: выделить в основании конструкцию $1 + \tfrac{1}{\square}$ , достроить показатель до $\square$ и вынести остаток степени наружу.

Примеры

Пример 1: достройка показателя

\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{2x} = 1^{\infty}

Здесь $\square = \tfrac{x}{3}$ . Достраиваем показатель и компенсируем:

\lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{3}{x}\right)^{x/3}\right]^{\,3 \cdot 2} = e^{6}

Быстрое правило для $\left(1+\tfrac{a}{x}\right)^{bx}$ : ответ $e^{ab}$ .

Пример 2: дробь в основании

\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{x}

Делим числитель и знаменатель на $x$ и растаскиваем на два известных предела:

\left(\frac{1 + \tfrac{1}{x}}{1 - \tfrac{1}{x}}\right)^{x} = \frac{\left(1+\tfrac{1}{x}\right)^x}{\left(1-\tfrac{1}{x}\right)^x} \;\longrightarrow\; \frac{e}{e^{-1}} = e^{2}

Типичные ошибки

Сказать «единица в любой степени — единица» и написать ответ 1. Основание только стремится к единице — это неопределённость.
Забыть компенсирующий множитель при достройке показателя: степень должна остаться той же.
Применять формулу, когда основание не стремится к 1 — например, $\left(2+\tfrac{1}{x}\right)^x \to \infty$ безо всякого $e$ .
Терять знак: $\left(1 - \tfrac{1}{x}\right)^x \to e^{-1}$ , минус уходит в показатель.

Частые вопросы

Почему 1^∞ — это неопределённость, ведь единица в любой степени единица?

Потому что основание не равно единице, а лишь стремится к ней. Крошечное отклонение от единицы, возведённое в огромную степень, может дать что угодно — от нуля до бесконечности. Поэтому и нужен предел.

Как быстро узнать задачу на второй замечательный предел?

Подставь точку: если основание стремится к 1, а показатель — к бесконечности, это оно. Обычно выражение имеет вид (1 + что-то маленькое)^(что-то большое).

Что за формула (1+α)^(1/α) → e?

Та же самая, записанная через малую величину α = 1/x. Удобна, когда «маленькое слагаемое» — не 1/x, а любая стремящаяся к нулю добавка.

Чему равно e и почему оно важно?

e ≈ 2,71828 — основание натурального логарифма. Оно возникает везде, где рост пропорционален текущему значению: сложные проценты, радиоактивный распад, дифференциальные уравнения.