Не ботай

Математическое ожидание: среднее в долгую

Матожидание — это то, что получится «в среднем за много раз»: каждое значение случайной величины, взвешенное своей вероятностью. Считаем на кубике и лотерее.

Формула

Для дискретной случайной величины: каждое значение умножаем на его вероятность и складываем:

M(X)=∑ixi piM(X) = \sum_i x_i\,p_i

Пример 1: кубик

Значения 1–6, каждое с вероятностью 16\tfrac{1}{6}:

M(X)=1+2+3+4+5+66=216=3,5M(X) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5

Пример 2: стоит ли играть в лотерею

Билет стоит 100 ₽. С вероятностью 0,01 выигрываешь 5000 ₽, иначе — ничего. Выигрыш с учётом цены билета: X=4900X = 4900 с p=0,01p = 0{,}01 и X=−100X = -100 с p=0,99p = 0{,}99:

M(X)=4900⋅0,01+(−100)⋅0,99=49−99=−50M(X) = 4900 \cdot 0{,}01 + (-100) \cdot 0{,}99 = 49 - 99 = -50

В среднем каждый билет сжигает 50 ₽. Матожидание — детектор невыгодных игр.

Суть

Матожидание отвечает на вопрос «сколько в среднем», но молчит о разбросе: средняя температура по больнице может быть нормальной. Про разброс — следующая статья, дисперсия.

Типичные ошибки

Частые вопросы

Почему матожидание кубика 3,5, если такой грани нет?

Матожидание — не «самое вероятное значение», а среднее по многим броскам. Бросишь кубик тысячу раз — средний результат будет около 3,5, хотя ни один бросок не даст 3,5.

Как проверить, что ряд распределения составлен верно?

Сумма всех вероятностей обязана равняться единице. Не равна — ошибка в условии или в подсчёте, матожидание считать рано.

Что значит отрицательное матожидание?

В среднем теряешь. У любой лотереи и казино матожидание выигрыша игрока отрицательно — именно так они и зарабатывают.

Каковы главные свойства матожидания?

Линейность: M(aX + b) = a·M(X) + b, и M(X + Y) = M(X) + M(Y) для любых величин. Константа выносится, сдвиг прибавляется — это экономит массу вычислений.

Связанные темы