Не ботай

Дисперсия: измеряем разброс

Два стрелка могут иметь одинаковое среднее, но один кладёт пули кучно, а другой — по всей мишени. Разницу между ними измеряет дисперсия.

Определение и рабочая формула

По определению дисперсия — среднее квадрата отклонения от матожидания:

D(X)=M[(X−M(X))2]D(X) = M\big[(X - M(X))^2\big]

Но руками почти всегда считают по рабочей формуле — она короче:

D(X)=M(X2)−(M(X))2D(X) = M(X^2) - \big(M(X)\big)^2

Словами: «среднее квадрата минус квадрат среднего».

Полный пример

Ряд распределения:

xix_i124
pip_i0,50,30,2

Шаг 1. Матожидание:

M(X)=1⋅0,5+2⋅0,3+4⋅0,2=1,9M(X) = 1 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}3 + 4 \cdot 0{,}2 = 1{,}9

Шаг 2. Среднее квадрата:

M(X2)=1⋅0,5+4⋅0,3+16⋅0,2=4,9M(X^2) = 1 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}3 + 16 \cdot 0{,}2 = 4{,}9

Шаг 3. Дисперсия и σ:

D(X)=4,9−1,92=4,9−3,61=1,29,σ=1,29≈1,14D(X) = 4{,}9 - 1{,}9^2 = 4{,}9 - 3{,}61 = 1{,}29, \qquad \sigma = \sqrt{1{,}29} \approx 1{,}14

Правило

В M(X2)M(X^2) в квадрат возводятся значения, а вероятности остаются как были. Возвести в квадрат вероятности — самая частая ошибка этой темы.

Типичные ошибки

Частые вопросы

Почему в дисперсии отклонения возводятся в квадрат?

Без квадрата плюсы и минусы отклонений взаимно уничтожатся и сумма даст ноль у любой величины. Квадрат делает все отклонения положительными и сильнее штрафует большие промахи.

Что такое среднее квадратическое отклонение и зачем оно?

Это корень из дисперсии: σ = √D(X). Дисперсия измеряется в квадратных единицах (рубли², метры²), а σ возвращает разброс в нормальные единицы — его и приводят в ответе рядом с дисперсией.

Может ли дисперсия быть отрицательной?

Никогда: это среднее квадратов, а квадраты неотрицательны. Получил минус — ошибка в арифметике, чаще всего в M(X²) или в возведении M(X) в квадрат.

Чему равна дисперсия константы?

Нулю — константа не разбрасывается. А множитель выносится с квадратом: D(aX) = a²·D(X).

Связанные темы