Частные производные с нуля: как считать ∂z/∂x и ∂z/∂y

Частные производные: дифференцируем по одной букве

Функция двух переменных пугает ровно до момента, когда понимаешь правило: дифференцируешь по x — значит y временно превращается в обычное число. Всё, больше в теме секретов нет.

Правило одной живой буквы

Чтобы найти $\dfrac{\partial z}{\partial x}$ : считай $y$ числом (как 5) и дифференцируй по $x$ обычными правилами. Для $\dfrac{\partial z}{\partial y}$ — наоборот. Таблица производных та же самая.

Пример 1: обе первые производные

z = x^2 y^3 + \sin x

По $x$ ( $y$ — число, значит $y^3$ — числовой множитель):

\frac{\partial z}{\partial x} = 2x\,y^3 + \cos x

По $y$ ( $x$ — число, значит $\sin x$ — константа и исчезает):

\frac{\partial z}{\partial y} = 3x^2 y^2

Правило

Главный источник ошибок — забыть «заморозить» лишние буквы. Прежде чем дифференцировать, проговори: «сейчас $y$ — это пять». Слагаемые без живой буквы умирают целиком, множители без неё — выносятся как числа.

Вторые производные

Дифференцируем ещё раз — по той же или по другой букве. У функции двух переменных вторых производных четыре:

Пример 2: все четыре второго порядка

Для $z = x^2 y^3$ (первые производные: $z'_x = 2xy^3$ , $z'_y = 3x^2y^2$ ):

\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2y^3, \qquad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 6x^2 y,

\frac{\partial^2 z}{\partial x\,\partial y} = 6xy^2, \qquad \frac{\partial^2 z}{\partial y\,\partial x} = 6xy^2

Смешанные совпали — так и должно быть (теорема Шварца). Не совпали бы — ищи арифметическую ошибку.

Полный дифференциал

dz = \frac{\partial z}{\partial x}\,dx + \frac{\partial z}{\partial y}\,dy

Для примера 1: $dz = (2xy^3 + \cos x)\,dx + 3x^2y^2\,dy$ . Эта конструкция — рабочая лошадка приближённых вычислений и обязательный вопрос теории на экзамене.

Типичные ошибки

Дифференцировать по всем буквам сразу — за раз живёт ровно одна переменная.
Потерять слагаемое-«константу» наоборот: $\sin x$ при дифференцировании по $y$ — ноль, а вот при дифференцировании по $x$ — очень даже $\cos x$ .
Не проверить смешанные — их совпадение даётся бесплатно и ловит половину ошибок.
Писать $d$ вместо $\partial$ — преподаватели считают это смысловой ошибкой, а не опиской.

Частые вопросы

Чем ∂ отличается от обычного d?

Символ ∂ («дэ круглое») подчёркивает, что переменных несколько и дифференцируем только по одной, держа остальные фиксированными. Техника счёта та же, что у обычной производной, — меняется только статус остальных букв.

Что показывает частная производная геометрически?

Скорость роста поверхности z = f(x, y) при движении строго вдоль одной оси: ∂z/∂x — насколько круто идти по поверхности в направлении x, если y не менять.

Всегда ли смешанные производные равны?

Для всех функций из типовиков — да (теорема Шварца: если смешанные производные непрерывны, они совпадают). Это отличная самопроверка: посчитал ∂²z/∂x∂y и ∂²z/∂y∂x по отдельности — обязаны совпасть.

Зачем нужен полный дифференциал?

Он собирает вклад всех переменных сразу: dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy — насколько изменится функция при малых сдвигах обеих переменных. На нём строятся приближённые вычисления и вся теория ошибок измерений.