Экстремумы функции двух переменных: алгоритм с D = AC − B²

Q: Почему нужны сразу обе производные, равные нулю?

Экстремум поверхности — точка, где она горизонтальна во всех направлениях сразу. Одна нулевая производная даёт горизонтальность только вдоль одной оси — этого мало: вдоль другой поверхность может продолжать расти.

Q: Что такое седловая точка?

Точка, где производные нулевые, но экстремума нет: как седло — по одному направлению это минимум, по другому максимум. Признак: D = AC − B² < 0. Классический пример — z = x² − y² в нуле.

Q: Что делать, если D = 0?

Критерий молчит: может быть и экстремум, и седло. Нужно исследовать поведение функции вручную — по сечениям или по знаку приращения вблизи точки. В типовиках такое встречается редко и обычно оговаривается.

Q: Как запомнить, когда минимум, а когда максимум?

При D > 0 экстремум точно есть, а дальше — как со второй производной одной переменной: A > 0 — ветви вверх, минимум; A < 0 — ветви вниз, максимум.

Экстремумы функции двух переменных: ищем ямы и вершины поверхности

Алгоритм из двух шагов: найти точки, где обе частные производные нули, и проверить каждую числом D = AC − B². Разбираем на полном примере — это типовое задание второго курса.

Алгоритм

Стационарные точки: решить систему

\begin{cases} \dfrac{\partial z}{\partial x} = 0 \\[2mm] \dfrac{\partial z}{\partial y} = 0 \end{cases}

Проверка каждой точки. Посчитать вторые производные в ней: $A = z''_{xx}$ , $B = z''_{xy}$ , $C = z''_{yy}$ и число

D = AC - B^2

Значение $D$	Вывод
$D > 0$ , $A > 0$	минимум
$D > 0$ , $A < 0$	максимум
$D < 0$	экстремума нет (седло)
$D = 0$	критерий не работает — исследовать вручную

Полный разбор

z = x^2 + xy + y^2 - 3x - 6y

Шаг 1. Стационарные точки. Частные производные:

\begin{cases} z'_x = 2x + y - 3 = 0 \\ z'_y = x + 2y - 6 = 0 \end{cases}

Из первого уравнения $y = 3 - 2x$ , подставляем во второе:

x + 2(3 - 2x) = 6 \;\Rightarrow\; -3x = 0 \;\Rightarrow\; x = 0,\; y = 3

Единственная стационарная точка — $(0;\, 3)$ .

Шаг 2. Проверка. Вторые производные (здесь они постоянны):

A = z''_{xx} = 2, \qquad B = z''_{xy} = 1, \qquad C = z''_{yy} = 2

D = AC - B^2 = 2 \cdot 2 - 1^2 = 3 > 0, \qquad A = 2 > 0

Вывод: в точке $(0;\, 3)$ — минимум. Его значение:

z_{\min} = 0 + 0 + 9 - 0 - 18 = -9

Суть

Сравни с исследованием функции одной переменной: логика та же — «производная ноль» даёт кандидатов, знак второй производной ставит диагноз. Просто производных стало две, а вторая производная выросла в тройку чисел $A$ , $B$ , $C$ .

Типичные ошибки

Решить только одно уравнение системы — кандидаты ищутся из обоих условий сразу.
Забыть минус в $D = AC - B^2$ и получить неверный знак — смешанная производная входит с минусом и в квадрате.
Объявить седло экстремумом: $D < 0$ — это «экстремума нет», даже если очень хочется.
Не подставить точку в исходную функцию — в ответе обычно требуется и значение $z$ в экстремуме.

Частые вопросы

Почему нужны сразу обе производные, равные нулю?

Экстремум поверхности — точка, где она горизонтальна во всех направлениях сразу. Одна нулевая производная даёт горизонтальность только вдоль одной оси — этого мало: вдоль другой поверхность может продолжать расти.

Что такое седловая точка?

Точка, где производные нулевые, но экстремума нет: как седло — по одному направлению это минимум, по другому максимум. Признак: D = AC − B² < 0. Классический пример — z = x² − y² в нуле.

Что делать, если D = 0?