Эквивалентные бесконечно малые: таблица замен и правила

Эквивалентные бесконечно малые: пределы за одну строчку

Половина страшных пределов решается заменой sin x на x и ln(1+x) на x. Учим таблицу замен и главное правило безопасности: в произведении — можно, в разности — нельзя.

Таблица замен (при x → 0)

Величина	Эквивалент
$\sin x$	$x$
$\operatorname{tg} x$	$x$
$\arcsin x$	$x$
$\operatorname{arctg} x$	$x$
$1 - \cos x$	$\dfrac{x^2}{2}$
$\ln(1 + x)$	$x$
$e^x - 1$	$x$
$a^x - 1$	$x \ln a$
$(1 + x)^{\alpha} - 1$	$\alpha x$

Вместо $x$ может стоять любая стремящаяся к нулю величина: например, $\sin 7x \sim 7x$ и $\ln(1 + x^2) \sim x^2$ .

Правило

Правило безопасности: заменять эквивалентами можно множители в произведениях и дробях. В суммах и разностях — НЕЛЬЗЯ: главные части могут сократиться, и предел уедет.

Примеры

Пример 1: дробь за одну строчку

\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\operatorname{tg} 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}

Обе величины — множители в дроби, замена законна. Сравни с достройкой через первый замечательный — результат тот же, работы втрое меньше.

Пример 2: логарифм и синус

\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + 2x)}{\sin 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{4x} = \frac{1}{2}

Пример 3: где замена запрещена

\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{tg} x - \sin x}{x^3}

Заменить оба на $x$ — получить $\tfrac{0}{x^3} = 0$ . Это неверно. Работаем честно: $\operatorname{tg} x - \sin x = \operatorname{tg} x\,(1 - \cos x)$ , а вот теперь это произведение — заменяем множители:

\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \tfrac{x^2}{2}}{x^3} = \frac{1}{2}

Разность спрятали в произведение — и только потом применили таблицу.

Типичные ошибки

Замена в разности — главный источник неверных нулей (пример 3).
Замена не при нуле: $\sin x$ при $x \to \pi$ не эквивалентен $x$ — сначала сведи к нулю заменой переменной.
Забыть коэффициент: $\sin 7x \sim 7x$ , а не $x$ .
Смешать с Лопиталем без нужды — если работают замены, они быстрее; Лопиталь оставь для случаев, где таблица бессильна.

Частые вопросы

Что значит «эквивалентные» бесконечно малые?

Их отношение стремится к единице: sin x / x → 1 при x → 0, поэтому sin x ~ x. В пределе такие величины взаимозаменяемы — они «одного размера малости».

Почему нельзя заменять в суммах и разностях?

Главные части могут сократиться, и результат определяется следующими членами разложения, которые замена выбрасывает. Классика: sin x − x при замене даст 0, а на самом деле предел (sin x − x)/x³ равен −1/6.

Работают ли замены при x → 5 или только при x → 0?

Таблица написана для величин, стремящихся к нулю. При x → 5 нулю стремится (x − 5) — сведи предел заменой переменной к нулю, и таблица заработает.

Чем это лучше правила Лопиталя?

Быстрее и без производных: предел sin 3x / tg 5x эквивалентностями решается устно. Лопиталь — универсальнее, но замены экономят минуты на каждом типовом пределе.