Метод наименьших квадратов: прямая y = ax + b по точкам

Метод наименьших квадратов: прямая через облако точек

В лабораторной точки никогда не лягут на прямую идеально. МНК находит прямую, которая ошибается меньше всех остальных, — и это две формулы плюс аккуратная таблица.

Формулы

Для $n$ точек $(x_i;\, y_i)$ коэффициенты прямой $y = ax + b$ :

a = \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2}, \qquad b = \frac{\sum y_i - a\sum x_i}{n}

Выглядит громоздко, но на практике это одна таблица с четырьмя суммами: $\sum x$ , $\sum y$ , $\sum xy$ , $\sum x^2$ .

Полный разбор

Экспериментальные точки: $(1;\, 2)$ , $(2;\, 3)$ , $(3;\, 5)$ .

Шаг 1. Таблица сумм:

	$x_i$	$y_i$	$x_i y_i$	$x_i^2$
1	1	2	2	1
2	2	3	6	4
3	3	5	15	9
$\sum$	6	10	23	14

Шаг 2. Наклон ( $n = 3$ ):

a = \frac{3 \cdot 23 - 6 \cdot 10}{3 \cdot 14 - 6^2} = \frac{69 - 60}{42 - 36} = \frac{9}{6} = 1{,}5

Шаг 3. Сдвиг:

b = \frac{10 - 1{,}5 \cdot 6}{3} = \frac{1}{3} \approx 0{,}33

Ответ: $y = 1{,}5x + 0{,}33$ .

Проверка через точку средних: $\bar{x} = 2$ , $\bar{y} = \tfrac{10}{3} \approx 3{,}33$ ; подставляем: $1{,}5 \cdot 2 + 0{,}33 = 3{,}33$ ✓. Прямая прошла через центр облака — коэффициенты верны.

Суть

Смысл метода в одной фразе: из всех прямых мира выбирается та, у которой сумма квадратов вертикальных расстояний до точек минимальна. Форма $\sum (y_i - ax_i - b)^2 \to \min$ — и формулы выше получаются из равенства нулю частных производных по $a$ и $b$ .

Типичные ошибки

Перепутать $\sum x^2$ и $(\sum x)^2$ — в знаменателе стоят ОБА, и они разные: у нас 14 и 36.
Посчитать $b$ раньше $a$ — формула $b$ использует уже найденный наклон.
Арифметика в таблице — одна ошибка в $\sum xy$ портит всё; считай суммы дважды.
Не проверить точку средних — тест на 30 секунд, ловящий почти любую ошибку.

Частые вопросы

Почему именно квадраты отклонений?

Квадрат убивает знак: отклонения вверх и вниз не сокращаются, а честно складываются, и большие промахи штрафуются сильнее маленьких. Минимум суммы квадратов даёт единственную «лучшую» прямую.

Что означают a и b в уравнении y = ax + b?

a — наклон: на сколько в среднем растёт y при росте x на единицу. b — сдвиг: значение y при x = 0. В физической лабе наклон обычно и есть искомая величина (сопротивление, ускорение).

Как проверить, что прямая посчитана верно?

Два быстрых теста: прямая обязана проходить через точку средних (x̄; ȳ), а подставленные в неё иксы должны давать значения, близкие к экспериментальным y — без систематического перекоса в одну сторону.

А если зависимость не линейная?

МНК работает и для парабол, и для экспонент — меняется только набор формул. Классический трюк лабораторных: прологарифмировать данные, чтобы экспонента стала прямой, и применить обычный линейный МНК.

Метод наименьших квадратов: прямая через облако точек

Формулы

Типичные ошибки

Частые вопросы

Связанные темы