Формула Пуассона: вероятности редких событий с примерами

Q: Какой смысл у параметра λ?

λ = np — среднее ожидаемое число событий: сколько выигрышей, опечаток или сбоев в среднем случится. Вся формула строится вокруг этого одного числа — в этом её прелесть.

Q: Где Пуассон встречается в жизни?

Везде, где редкие события на большом потоке: число звонков на линию за минуту, опечаток на страницу, бракованных деталей в партии, ДТП на перекрёстке за день. Поэтому его называют законом редких событий.

Q: Как посчитать «хотя бы одно событие»?

Через противоположное: P(k ≥ 1) = 1 − P(0) = 1 − e^(−λ). Это самый частый подвопрос задач на Пуассона, и он решается одной строкой.

Формула Пуассона: закон редких событий

Тысяча лотерейных билетов, шанс выигрыша одна тысячная. Бернулли утонет в степенях, Лаплас здесь врёт — а формула Пуассона решает такие задачи в одну строчку через единственный параметр λ.

Формула

Вероятность ровно $k$ событий при среднем числе $\lambda = np$ :

P(k) \approx \frac{\lambda^k\, e^{-\lambda}}{k!}

Условия применимости: $n$ велико, $p$ мало́ (редкие события), $\lambda = np$ — умеренное число (обычно до 10).

Полный разбор: лотерея

Куплено 1000 билетов, вероятность выигрыша каждого $p = 0{,}001$ . Найти вероятность: а) ни одного выигрыша; б) ровно двух; в) хотя бы одного.

Параметр: $\lambda = np = 1000 \cdot 0{,}001 = 1$ .

а) Ни одного ( $k = 0$ ):

P(0) = \frac{1^0 e^{-1}}{0!} = e^{-1} \approx 0{,}368

б) Ровно два ( $k = 2$ ):

P(2) = \frac{1^2 e^{-1}}{2!} = \frac{e^{-1}}{2} \approx 0{,}184

в) Хотя бы один — через противоположное:

P(k \ge 1) = 1 - P(0) = 1 - 0{,}368 = 0{,}632

Контринтуитивный итог: при среднем «один выигрыш на тысячу билетов» шанс не выиграть вообще — целых 37%.

Суть

Три приближения схемы Бернулли — одна карта: точная формула Бернулли для малых $n$ ; Лаплас для больших $n$ и умеренных $p$ ; Пуассон для больших $n$ и редких событий. На экзамене вопрос «какую формулу применить» стоит половины задачи.

Типичные ошибки

Применить Пуассона к нередким событиям — при $p = 0{,}4$ он безбожно врёт, там территория Лапласа.
Забыть $e^{-\lambda}$ — без неё «вероятности» перестают суммироваться в единицу.
Считать «хотя бы одно» суммой $P(1) + P(2) + \dots$ — через $1 - P(0)$ одна строка вместо ряда.
Спутать $\lambda$ с $p$ : в формуле живёт среднее число событий $np$ , а не вероятность одного.

Частые вопросы

Когда выбирать Пуассона, а когда Лапласа?

По вероятности p: если она мала (события редкие, ориентир p < 0,1 и npq < 9) — Пуассон; если p умеренная и npq ≥ 9–10 — Лаплас. Оба — приближения схемы Бернулли для больших n, но для разных режимов.

Какой смысл у параметра λ?

λ = np — среднее ожидаемое число событий: сколько выигрышей, опечаток или сбоев в среднем случится. Вся формула строится вокруг этого одного числа — в этом её прелесть.

Где Пуассон встречается в жизни?