Теоремы Лапласа в теории вероятностей: когда Бернулли не считается

Q: Когда можно применять теоремы Лапласа вместо формулы Бернулли?

При больших n и не слишком малых p: рабочий ориентир — произведение npq больше 9–10. Если p очень мало (редкие события), точнее работает формула Пуассона.

Q: Чем локальная теорема отличается от интегральной?

Локальная отвечает про ОДНО значение: «ровно k успехов». Интегральная — про диапазон: «от k₁ до k₂ успехов». В типовиках чаще нужна интегральная — вопросы «не менее», «от и до» встречаются чаще точного k.

Q: Что за функции φ(x) и Φ₀(x) в формулах?

Табличные функции нормального распределения: φ — плотность (колокол), Φ₀ — функция Лапласа (площадь под колоколом от 0 до x). Обе есть в приложениях любого задачника; φ — чётная, Φ₀ — нечётная.

Q: Почему это вообще работает?

Потому что биномиальное распределение при больших n становится похоже на нормальное — это центральная предельная теорема в действии. Лаплас — мостик от схемы Бернулли к нормальному распределению.

Теоремы Лапласа: Бернулли для больших чисел

Посчитать «ровно 50 орлов из 100» по схеме Бернулли — значит возводить дроби в сотые степени. Теоремы Лапласа дают тот же ответ за минуту через таблицу — учимся ими пользоваться.

Две теоремы — два вопроса

Обе работают для схемы Бернулли ( $n$ испытаний, вероятность успеха $p$ , $q = 1 - p$ ) при большом $n$ .

Локальная — вероятность «ровно $k$ успехов»:

P_n(k) \approx \frac{\varphi(x)}{\sqrt{npq}}, \qquad x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}}

Интегральная — вероятность «от $k_1$ до $k_2$ успехов»:

P_n(k_1 \le k \le k_2) \approx \Phi_0(x_2) - \Phi_0(x_1), \qquad x_i = \frac{k_i - np}{\sqrt{npq}}

Смысл переменной $x$ — тот же, что при стандартизации нормального распределения: на сколько «сигм» $k$ отстоит от среднего числа успехов $np$ .

Полный разбор: интегральная теорема

Монету бросают 100 раз. Найти вероятность, что орёл выпадет от 45 до 55 раз.

Параметры: $n = 100$ , $p = q = 0{,}5$ ; $np = 50$ , $npq = 25$ , $\sqrt{npq} = 5$ .

Стандартизуем границы:

x_1 = \frac{45 - 50}{5} = -1, \qquad x_2 = \frac{55 - 50}{5} = 1

По таблице $\Phi_0(1) = 0{,}3413$ , и по нечётности $\Phi_0(-1) = -0{,}3413$ :

P \approx \Phi_0(1) - \Phi_0(-1) = 0{,}3413 + 0{,}3413 = 0{,}6826

Ответ: ≈ 0,68. Узнаёшь число? Это правило «одной сигмы» нормального распределения — границы 45 и 55 отстоят от среднего ровно на $\sqrt{npq}$ .

Локальная теорема: ровно 50 орлов

Те же 100 бросков, вероятность «ровно 50 орлов»: $x = \frac{50-50}{5} = 0$ , по таблице $\varphi(0) = 0{,}3989$ :

P_{100}(50) \approx \frac{0{,}3989}{5} \approx 0{,}08

Даже самое вероятное значение случается лишь в 8% случаев — при больших $n$ вероятность любого точного значения мала, поэтому и спрашивают диапазоны.

Правило

Как выбрать теорему: в вопросе «ровно k» — локальная (таблица φ); «от … до», «не менее», «не более» — интегральная (таблица Φ₀). «Не менее 60» означает диапазон от 60 до n, «не более 40» — от 0 до 40.

Типичные ошибки

Перепутать таблицы: φ и Φ₀ — разные функции; локальной нужна плотность, интегральной — функция Лапласа.
Забыть чётность/нечётность: $\varphi(-x) = \varphi(x)$ , но $\Phi_0(-x) = -\Phi_0(x)$ — минус теряют постоянно.
Применять при малых npq — при $npq < 9$ приближение грубое, а при малых p нужен Пуассон.
«Не менее 60» посчитать как «ровно 60» — это диапазон до самого $n$ .

Частые вопросы

Когда можно применять теоремы Лапласа вместо формулы Бернулли?

При больших n и не слишком малых p: рабочий ориентир — произведение npq больше 9–10. Если p очень мало (редкие события), точнее работает формула Пуассона.

Чем локальная теорема отличается от интегральной?

Локальная отвечает про ОДНО значение: «ровно k успехов». Интегральная — про диапазон: «от k₁ до k₂ успехов». В типовиках чаще нужна интегральная — вопросы «не менее», «от и до» встречаются чаще точного k.

Что за функции φ(x) и Φ₀(x) в формулах?