Двойной интеграл для чайников: сведение к повторному и пределы

Двойной интеграл: два обычных интеграла по очереди

Звучит грозно, а на деле — два знакомых интеграла, взятых по очереди: сначала по одной переменной, потом по другой. Вся сложность темы — правильно расставить пределы. Этим и займёмся.

Сведение к повторному

\iint\limits_{D} f(x, y)\, dx\, dy = \int_{a}^{b} \left( \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y)\, dy \right) dx

Читается изнутри наружу: сначала внутренний интеграл по $y$ (при этом $x$ — число), потом внешний по $x$ . Все приёмы — из обычного определённого интеграла.

Пример 1: прямоугольник — самый простой случай

\iint\limits_{D} (x + y)\, dx\, dy, \qquad D = [0;\,1] \times [0;\,2]

Внутренний по $y$ (x — число):

\int_0^2 (x + y)\, dy = \Big[ xy + \tfrac{y^2}{2} \Big]_0^2 = 2x + 2

Внешний по $x$ :

\int_0^1 (2x + 2)\, dx = \Big[ x^2 + 2x \Big]_0^1 = 1 + 2 = 3

Ответ: 3.

Пример 2: область между кривыми

\iint\limits_{D} x\, dx\, dy, \qquad D:\; y = x^2 \text{ и } y = x

Рисунок области. Парабола и прямая пересекаются при $x^2 = x$ , то есть в $x = 0$ и $x = 1$ . Между ними прямая выше параболы: область зажата $x^2 \le y \le x$ при $0 \le x \le 1$ .

Внутренний по $y$ — пределы-функции:

\int_{x^2}^{x} x\, dy = x \cdot (x - x^2) = x^2 - x^3

Внешний по $x$ :

\int_0^1 (x^2 - x^3)\, dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}

Ответ: $\dfrac{1}{12}$ .

Правило

Порядок расстановки пределов: внешние пределы — всегда числа, внутренние могут быть функциями внешней переменной. Наоборот не бывает: если во внешнем интеграле осталась буква — пределы расставлены неверно.

Типичные ошибки

Решать без рисунка области — пределы из головы почти всегда неверны.
Числа во внутренних, функции во внешних пределах — ровно наоборот.
Забыть, что $x$ — константа во внутреннем интеграле по $y$ : его можно выносить за знак интеграла.
При смене порядка интегрирования оставить старые пределы — их нужно перечитывать с рисунка заново.

Частые вопросы

Что считает двойной интеграл по смыслу?

Объём под поверхностью z = f(x, y) над областью D — так же, как обычный определённый интеграл считает площадь под кривой. А если f = 1, двойной интеграл даёт просто площадь самой области D.

Во что превращается внутренний интеграл?

Интегрируешь по y — значит x временно число (ровно как в частных производных). Результат внутреннего интеграла — функция от x, которую доинтегрирует внешний.

Можно ли менять порядок интегрирования?

Да, для нормальных функций из типовиков ответ от порядка не зависит. Но пределы при смене порядка надо расставлять заново по рисунку области — механически переставить их нельзя.

С чего начинать задачу с непрямоугольной областью?

С рисунка области. Без него пределы расставляются наугад. Нарисуй линии границы, найди точки их пересечения — внешние пределы это «от и до» по одной оси, внутренние — функции границы по другой.

Двойной интеграл: два обычных интеграла по очереди

Сведение к повторному

Типичные ошибки

Частые вопросы

Связанные темы