Производная неявной функции: алгоритм и примеры с решением

Производная неявной функции: когда y не выражается

Из x² + y² = 25 не выразить y одной формулой — но производная y′ всё равно находится. Правило одно: дифференцируй обе части, помня, что y — это функция от x.

Алгоритм

Продифференцировать обе части уравнения по $x$ .
Каждый раз, дифференцируя выражение с $y$ , домножать на $y'$ (правило цепочки: $y$ — внутренняя функция).
Собрать слагаемые с $y'$ в одну сторону и выразить $y'$ .

Пример 1: окружность

x^2 + y^2 = 25

Дифференцируем обе части (справа константа — ноль):

2x + 2y \cdot y' = 0

Выражаем:

y' = -\frac{x}{y}

Проверка в точке (3; 4): $y' = -\tfrac{3}{4}$ . Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, наклон радиуса $\tfrac{4}{3}$ : $-\tfrac{3}{4} \cdot \tfrac{4}{3} = -1$ ✓ — перпендикулярность подтверждена.

Пример 2: с экспонентой и произведением

e^y + xy = e

Дифференцируем обе части. $e^y$ — сложная функция ( $\cdot\, y'$ ), $xy$ — произведение:

e^y \cdot y' + \big(1 \cdot y + x \cdot y'\big) = 0

Собираем $y'$ :

y'(e^y + x) = -y \quad\Longrightarrow\quad y' = -\frac{y}{e^y + x}

Правило

Мысленная проверка перед сдачей: в продифференцированном уравнении $y'$ должен появиться у КАЖДОГО слагаемого, где был $y$ , — и ни у одного, где были только $x$ и числа. Пропущенный $y'$ — ошибка №1 этой темы.

Типичные ошибки

Забыть $y'$ после дифференцирования $y^2$ , $\sin y$ , $e^y$ — правило цепочки обязательно.
Продифференцировать только левую часть — уравнение дифференцируется целиком, константа справа даёт ноль.
Пытаться сначала выразить $y$ — метод и существует для случаев, когда это невозможно или уродливо.
Испугаться $y$ в ответе — для неявной функции это норма, а не недоделанное решение.

Частые вопросы

Что значит «неявная функция»?

Зависимость y от x задана уравнением F(x, y) = 0, а не формулой y = f(x). Окружность x² + y² = 25 — классика: y из неё выражается только с ± и корнем, а работать с производной хочется без этого.

Почему при дифференцировании y² получается 2y·y′?

Потому что y — функция от x, и y² — сложная функция: внешняя «квадрат», внутренняя y(x). По правилу цепочки производная равна 2y, умноженному на производную внутреннего — то есть на y′.

Почему в ответе остаётся и x, и y?

Это нормально для неявных функций: наклон касательной зависит от того, в какой точке кривой ты стоишь, а точка задаётся парой (x; y). Для числового ответа подставляют координаты конкретной точки.

Как проверить найденную производную?

Взять точку на кривой и сравнить с геометрией: для окружности x² + y² = 25 в точке (3; 4) производная −3/4 — а радиус в эту точку имеет наклон 4/3, и касательная ему перпендикулярна: (−3/4)·(4/3) = −1 ✓.

Производная неявной функции: когда y не выражается

Алгоритм

Типичные ошибки

Частые вопросы

Связанные темы